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/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10289 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-14  |  3.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!convex!darwin.sura.net!jvnc.net!yale.edu!think.com!news!columbus
  2. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: space-eating curves
  5. Date: 14 Aug 92 16:51:16
  6. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  7. Lines: 62
  8. Distribution: sci
  9. Message-ID: <COLUMBUS.92Aug14165116@strident.think.com>
  10. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  11.  
  12. As recent posts have pointed out, there is a continuous map from the unit
  13. interval, I, onto the unit square, IxI.  The first one was discovered by
  14. Peano; the best known is due to Hilbert.  Pictures of the first few
  15. approximations to the Hilbert curve can be found in many math
  16. popularizations, e.g., Kasner and Newman's "Mathematics and the
  17. Imagination".  It's a cute and fairly easy exercise to write a
  18. program that inputs n and outputs the order n approximation to the Hilbert
  19. curve.  (Just a little more interesting than the cliched Towers of Hanoi.)
  20.  
  21. The Hahn-Mazurkiewicz theorem asserts that a Hausdorff space T is a
  22. continuous image of I if and only if T is connected, locally connected,
  23. compact, and second countable.  I^2 and more generally I^n (n any integer)
  24. qualify.
  25.  
  26. Special case of interest: the Hilbert cube I^{aleph_null} also qualifies
  27. (call it H).  Topologically, H is the product of countably many copies of I
  28. with the product topology.  Equivalently, for x in R^{aleph_null}, define
  29. ||x|| to be sqrt(sum (x_i)^2) (setting ||x|| = infinity of course if the
  30. series diverges; otherwise this is the usual l^2 norm); then sets of the
  31. form N_e(x) = {y : ||y-x|| < e} form a neighborhood base (with e>0, of
  32. course.)
  33.  
  34. A few years ago I noticed that this special case of the H-M theorem enjoys
  35. a short and (IMHO) elegant proof-- once you have the continuous map
  36. from I onto IxI.  Here goes:
  37.  
  38.     Let  x --> (f(x), g(x))   be the continuous map from I onto IxI.
  39.     Construct the map from I to I^{aleph_null} as follows:
  40.  
  41.        x-->  (f(x), f(g(x)), f(g(g(x))), ...)
  42.  
  43.     Motivation: think of (f,g) as a tool for splitting a element x of I
  44.     into two elements.  Starting with the list (x), we obtain longer and
  45.     longer lists by repeatedly splitting the last element.  The following
  46.     diagram illustrates the process:
  47.  
  48.     x
  49.         |\
  50.         | \
  51.         |  \
  52.      f(x)  g(x)
  53.            |   \
  54.            |    \
  55.            |     \
  56.         f(g(x))   g(g(x))
  57.                   |      \
  58.                   |       \
  59.                   |        \
  60.              f(g(g(x))     g(g(g(x)))
  61.                            |        \
  62.                            .         .
  63.                            .          .
  64.                            .           .
  65.  
  66.     It follows immediately from the definition of the product topology that
  67.     this map is continuous and its image is dense in H.  However, its image
  68.     is the continuous image of a compact set and is hence compact, hence
  69.     closed, hence all of H!
  70.  
  71. Returning the general H-M theorem: if T satisfies 1)-4), then by the
  72. Urysohn imbedding theorem, T can be imbedded as a subspace of H.  One can
  73. in fact turn this observation into a proof the H-M theorem.
  74.