home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10278 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-14  |  3.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!das-news.harvard.edu!das-news!kosowsky
  2. From: kosowsky@schottky.harvard.edu (Jeffrey J. Kosowsky)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Help - non-integral power of a matrix?
  5. Message-ID: <KOSOWSKY.92Aug14122403@schottky.harvard.edu>
  6. Date: 14 Aug 92 17:24:03 GMT
  7. Article-I.D.: schottky.KOSOWSKY.92Aug14122403
  8. References: <Aug.10.15.45.34.1992.26563@clam.rutgers.edu> <carle.713599691@vex>
  9.     <a_rubin.713653963@dn66> <1992Aug12.231708.3644@galois.mit.edu>
  10. Sender: usenet@das.harvard.edu (Network News)
  11. Organization: Harvard Robotics Lab, Harvard University
  12. Lines: 54
  13. In-Reply-To: jbaez@nevanlinna.mit.edu's message of Wed, 12 Aug 92 23:17:08 GMT
  14.  
  15. In article <1992Aug12.231708.3644@galois.mit.edu> jbaez@nevanlinna.mit.edu (John C. Baez) writes:
  16.  
  17.    In article <a_rubin.713653963@dn66> a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin) writes:
  18.    >In <carle.713599691@vex> carle@vex.ugcs.caltech.edu (Matthew Thomas Carle) writes:
  19.    >
  20.    >>gonzalez@clam.rutgers.edu (Ralph Gonzalez) writes:
  21.    >
  22.    >
  23.    >>>Hi.  Does anyone know of an algorithm to find a non-integral
  24.    >>>power of a matrix, e.g. A^.5 or A^1.3? Thus, A^2 is the same
  25.    >>>as AxA and A^0 is the identity.
  26.    >
  27.    >>>I imagine if such a thing is defined, then there are conditions
  28.    >>>on A...
  29.  
  30.    >log "obviously" converges if all eigenvalues of A are strictly within 1 of 1,
  31.  
  32.    To clarify, perhaps, let me add that this is not only "obvious", it's
  33.    true, at least if A is diagonalizable.  If A is a
  34.    not-necessarily-diagonalizable matrix log A is defined if ||A - 1|| < 1;
  35. >   I don't think the eigenvalue condition above is sufficient.
  36.  
  37.  
  38. Aside:
  39.  
  40. The theory of taking analytic functions of a matrix (or more generally
  41. any bounded linear operator, T, on a Banach space, X) is called the
  42. Riesz (or functional) analytic calculus. Given a holomorphice
  43. (ie: analytic) funtion, f, defined on an open neighborhood of the
  44. spectrum, \sigma(T) of a bounded linear operator, T, we can define
  45. f(T) by an extension of the Cauchy integral formula. If the Taylor
  46. expansion of the function about some point contains the spectrum in
  47. its region of convergence, then f(T) can equivalently be written as
  48. the sum of the Taylor series terms where powers of T replace the
  49. independent variable in the Taylor series. Much more could of course
  50. be said about the properties of the functional analytic calculus. 
  51. On normal elements of C* algebras (eg:  L(H) is a C* algebra where H
  52. is a Hilbert space), there is a more general extension called the
  53. Borel functional calculus. Suppose T is a normal element of a C*
  54. algebra, A, and f is a continuous function on the spectrum of T, then
  55. we can define f(T) via the inverse of the Gelfand transform.
  56.  
  57. end of aside:
  58.  
  59. In any case, the original poster was presumably talking about finite
  60. dimensional matrices so that the spectrum \sigma(T) is equal to the
  61. set of eigenvalues. Since the region of convergence of the logarithm
  62. about 1 is 1, Arthur Rubin's characterization is obviously correct.
  63. Assuming that John Baez is using the standard (2-norm) on linear
  64. operators, then his criterion is equivalent since ||A -1|| equals the
  65. largest magnitude eigenvalue of (A-1), so ||A-1|| < 1 iff all
  66. eigenvalues lie within the unit circle around 1.
  67.  
  68. Jeff Kosowsky
  69.