home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10224 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-13  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!pipex!unipalm!uknet!gdt!mapsj
  2. From: mapsj@gdr.bath.ac.uk (Simon Juden)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Is Card(R)=Card(R^2)?
  5. Message-ID: <1992Aug13.154422.9362@gdr.bath.ac.uk>
  6. Date: 13 Aug 92 15:44:22 GMT
  7. References: <1992Aug13.000928.12631@unidus.rz.uni-duesseldorf.de> <1992Aug13.011522.11161@informix.com> <1992Aug13.131518.2982@gdr.bath.ac.uk>
  8. Organization: School of Mathematics, University of Bath, UK
  9. Lines: 36
  10.  
  11. In article <1992Aug13.131518.2982@gdr.bath.ac.uk> mapsj@gdr.bath.ac.uk (Simon Juden) writes:
  12. >In article <1992Aug13.011522.11161@informix.com> proberts@informix.com (Paul Roberts) writes:
  13. >>In article <1992Aug13.000928.12631@unidus.rz.uni-duesseldorf.de> heisen@convex.rz.uni-duesseldorf.de (Henner Eisen) writes:
  14. >>>In article <1992Aug12.102140.5231@nntp.hut.fi> samu@lammio.hut.fi writes:
  15. >>>>I have been wondering... It seems first that there are more pairs of
  16. >>>>real numbers than real numbers, but is it really so? And if not, I would
  17. >>>>like to see a bijective mapping f:R->R^2.     ...
  18. >>>
  19. >>>Such mappings exist! To construct a mapping f(x,y) = z  choose a
  20. >>>unique decimal representation of x and y and then merge the digits.
  21. >>>
  22. >>>i.E.:
  23. >>>x =  1 0 0 2. 7 1 8 2 8 2 . . . . . .
  24. >>>y =   3 0 3 .1 4 1 5 9 3 . . . . . . 
  25. >>> 
  26. >>>z =  1300032.174118529832............
  27. >>>
  28. >>>This will be bijective for non-negative real numbers. In order to obtain a
  29. >>>bijective mapping R <-> R^2 this has to be combined with a bijection
  30. >>>which maps real numbers to non-negative real numbers (right now, I
  31. >>>don't remeber by heart how this is done, but it is possible).
  32. >>
  33. >>I believe that there is even an everywhere-continuous 
  34. >>bijective mapping from the unit line to the unit square.
  35. >
  36. >
  37. >Indeed so - an elementary version of Peano's construction of such may be found
  38. >on page 283 of the American Mathematical Monthly, April 1983.
  39. >
  40. >Simon
  41.  
  42. Indeed not - I misread you. Peano's map is a cts surjection but of course as
  43. has been pointed out an elementary argument yields that there can be no
  44. bijection. Apologies for the inaccuracy, due to my reading too fast!
  45.  
  46. Simon
  47.