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/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / logic / 1288 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-19  |  2.2 KB  |  50 lines
  1. Newsgroups: sci.logic
  2. Path: sparky!uunet!caen!zaphod.mps.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!wjcastre
  3. From: wjcastre@magnus.acs.ohio-state.edu (W.Jose Castrellon G.)
  4. Subject: Re: Non-standard integers.
  5. Message-ID: <1992Aug19.151419.8835@magnus.acs.ohio-state.edu>
  6. Sender: news@magnus.acs.ohio-state.edu
  7. Nntp-Posting-Host: bottom.magnus.acs.ohio-state.edu
  8. Organization: The Ohio State University,Math.Dept.(studnt)
  9. References: <1992Aug18.133344.385@csc.canterbury.ac.nz> <16rh2nINN6og@agate.berkeley.edu> <1992Aug19.172922.410@csc.canterbury.ac.nz>
  10. Date: Wed, 19 Aug 1992 15:14:19 GMT
  11. Lines: 37
  12.  
  13. In article <1992Aug19.172922.410@csc.canterbury.ac.nz> wft@math.canterbury.ac.nz (Bill Taylor) writes:
  14. >>    Kemeny's conjecture is false: If M is a non-standard model of
  15. >>PA, then there is a non-standard integer n such that no integer in the
  16. >>"standard row" of n is divisible by all standard integers.
  17. >>
  18. >>    To see this, take n which is odd but is divisible by all
  19. >>standard odd integers. If m differs from n by a standard integer, then
  20. >>there must be a standard odd prime which does not divide the
  21. >>difference. Hence m is not divisible by that prime.
  22.  
  23. >
  24. >Looking at this bit...
  25. >
  26.  
  27. >>take n which is odd but is divisible by all standard odd integers.
  28.  
  29. >
  30. >...at first it wasn't clear to me that every nonstandard model would have
  31. >such an  n .  But I suppose this can be seen by taking any odd nonstandard k,
  32. >and forming  n = k(k-2)(k-4)(k-6).....  .
  33.  
  34. If what is meant here is that n equals to the product of the odd predecessors
  35. in the _row_ of k, then there is no model with such n, just as there is no
  36. number equal to the product of all standard integers; the reason for that is
  37. overspill, or else that by being able to do that you could pin down the
  38. standard integers.(Boolos&Jeffry surely discusses that).
  39. To see that there is an odd non-standard divisible by all odd standard naturals
  40. just take any non-standard that is divisible by all standard numbers and get
  41. its greatest odd divisor. You can prove that there is always such a divisor in
  42. PA for all numbers, therefore it is true in all models of PA.
  43.  
  44. >
  45. >Presumably this operation can be made legitimate in some simple way ?
  46.  
  47. Yes, by Godel coding, but n will necessarily be divisible by some non-standard
  48. naturals.
  49. WJCG
  50.