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/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / comp / graphics / visualiz / 1231 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-19  |  2.1 KB  |  55 lines
  1. Newsgroups: comp.graphics.visualization
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!ames!data.nas.nasa.gov!wk223!asimov
  3. From: asimov@wk223.nas.nasa.gov (Daniel A. Asimov)
  4. Subject: Re: Rotation in nD space
  5. References: <1992Aug19.100559.13778@fwi.uva.nl>
  6. Sender: news@nas.nasa.gov (News Administrator)
  7. Organization: NAS, NASA Ames Research Center, Moffett Field, CA
  8. Date: Wed, 19 Aug 92 19:06:26 GMT
  9. Message-ID: <1992Aug19.190626.29054@nas.nasa.gov>
  10. Lines: 43
  11.  
  12. In article <1992Aug19.100559.13778@fwi.uva.nl> wijkstra@fwi.uva.nl (Marcel Wijkstra (AIO)) writes:
  13.     [...]
  14. >The question is: how do I 'rotate' an object in 4D? Or even: what is
  15. >rotation in 4D? 
  16.     [...]
  17. >(1) WHAT IS 'ROTATION' IN ND SPACE EXACLY (IF IT IS POSSIBLE AT ALL)?
  18. >    This question comes merely from the difficulties I have in abstract
  19. >    thinking, i.e. I haven't got the slightest idea what an object in
  20. >    nD space would 'look' like.
  21.     [...]
  22. > Marcel Wijkstra
  23.  
  24. As in lower dimensions, the mathematical definition of a rotation in
  25. any Euclidean space R^n is any transformation that takes 0 to 0 and
  26. preserves all distances.  Oh, and one more condition: the transformation
  27. must preserve orientation as well.  (This insures that there is a continuous
  28. family of rotations connecting any one of them to the identity.)
  29.  
  30. In terms of matrices, rotations are given by orthogonal matrices with
  31. positive determinant.  (An orthogonal matrix in mathematics is one whose
  32. transpose is its inverse.)
  33.  
  34. EVEN DIMENSIONAL CASE:
  35. It can be shown with linear algebra that, in fact, given a rotation
  36. S of an even-dimensional Euclidean space R^2n, there are n mutually
  37. orthogonal 2-dimensional subspaces P(1),...,P(n) and angles
  38. theta(1),...,theta(n) such that for each i = 1,...,n the transformation 
  39. S is just an ordinary rotation by angle theta(i) when restricted to 
  40. the plane P(i).
  41.  
  42. ODD DIMENSIONAL CASE:
  43. If the dimension is odd, then a rotation S on R^(2n+1) must leave some
  44. 1-dimensional subspace L fixed, and the restriction of S to the 
  45. orthogonal complement of L is covered by the even-dimensional case above.
  46.  
  47.  
  48. --Dan Asimov
  49. asimov@nas.nasa.gov
  50.  
  51. Mail Stop T045-1
  52. NASA Ames Research Center
  53. Moffett Field, CA 94035-1000
  54. (415) 604-4799
  55.