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/ Liren Large Software Subsidy 9 / 09.iso / e / e032 / 3.ddi / FILES / NUMERICA.PAK / BESSELZE.M < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-07-29  |  12.7 KB  |  325 lines
  1. (* :Name: NumericalMath`BesselZeros` *)
  2.  
  3. (* :Title: Zeros of Bessel Functions *)
  4.  
  5. (* :Author: Jerry B. Keiper *)
  6.  
  7. (* :Summary: Finds zeros of Bessel functions.  *)
  8.  
  9. (* :Copyright: Copyright 1992  Wolfram Research, Inc.
  10.     Permission is hereby granted to modify and/or make copies of
  11.     this file for any purpose other than direct profit, or as part
  12.     of a commercial product, provided this copyright notice is left
  13.     intact.  Sale, other than for the cost of media, is prohibited.
  14.  
  15.     Permission is hereby granted to reproduce part or all of
  16.     this file, provided that the source is acknowledged.
  17. *)
  18.  
  19. (* :History:
  20.     Original version by Jerry B. Keiper, February 1992
  21. *)
  22.  
  23. (* :Mathematica Version: 2.1 *)
  24.  
  25. (* :Source: A&S, 9.5.12, 9.5.13, 9.5.27-33 *)
  26.  
  27. (* :Limitations:
  28.     This package uses asymptotic expansions to derive starting values
  29.     for FindRoot[ ].  These expansions hold for large n where n is the
  30.     ordinal number of the zero.  Since one normally desires lists of
  31.     the initial zeros this is a problem.  This package is known to fail
  32.     when searching for initial zeros with nu large.  This problem is
  33.     compounded with the cross product functions when l is near zero
  34.     or large.  The solution to this problem would be to solve for zeros
  35.     with large ordinal numbers and work backwards using extrapolation
  36.     on the distance between known zeros.
  37. *)
  38.  
  39. BeginPackage["NumericalMath`BesselZeros`"]
  40.  
  41. BesselJZeros::usage =
  42. "BesselJZeros[nu, n] gives a list of the first n zeros of the order nu
  43. BesselJ function. BesselJZeros[nu, {m, n}] gives a list of the mth through
  44. the nth zeros."
  45.  
  46. BesselYZeros::usage =
  47. "BesselYZeros[nu, n] gives a list of the first n zeros of the order nu
  48. BesselY function. BesselYZeros[nu, {m, n}] gives a list of the mth through
  49. the nth zeros."
  50.  
  51. BesselJPrimeZeros::usage =
  52. "BesselJPrimeZeros[nu, n] gives a list of the first n zeros of the
  53. derivative of the order nu BesselJ function. BesselJPrimeZeros[nu, {m, n}]
  54. gives a list of the mth through the nth zeros."
  55.  
  56. BesselYPrimeZeros::usage =
  57. "BesselYPrimeZeros[nu, n] gives a list of the first n zeros of the
  58. derivative of the order nu BesselY function. BesselYPrimeZeros[nu, {m, n}]
  59. gives a list of the mth through the nth zeros."
  60.  
  61. BesselJYJYZeros::usage =
  62. "BesselJYJYZeros[nu, l, n] gives a list of the first n zeros of
  63. BesselJ[nu, z] BesselY[nu, l z] - BesselJ[nu, l z] BesselY[nu, z].
  64. BesselJYJYZeros[nu, l, {m, n}] gives a list of the mth through the
  65. nth zeros."
  66.  
  67. BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros::usage =
  68. "BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros[nu, l, n] gives a list of the
  69. first n zeros of
  70. BesselJ'[nu, z] BesselY'[nu, l z] - BesselJ'[nu, l z] BesselY'[nu, z].
  71. BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros[nu, l, {m, n}] gives a list of
  72. the mth through the nth zeros."
  73.  
  74. BesselJPrimeYJYPrimeZeros::usage =
  75. "BesselJPrimeYJYPrimeZeros[nu, l, n] gives a list of the first n zeros of
  76. BesselJ'[nu, z] BesselY[nu, l z] - BesselJ[nu, l z] BesselY'[nu, z].
  77. BesselJPrimeYJYPrimeZeros[nu, l, {m, n}] gives a list of the mth
  78. through the nth zeros."
  79.  
  80. Options[BesselJZeros] =
  81. Options[BesselYZeros] =
  82. Options[BesselJPrimeZeros] =
  83. Options[BesselYPrimeZeros] =
  84. Options[BesselJYJYZeros] =
  85. Options[BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros] =
  86. Options[BesselJPrimeYJYPrimeZeros] =
  87.     {WorkingPrecision -> $MachinePrecision, AccuracyGoal -> Automatic}
  88.  
  89. Begin["NumericalMath`BesselZeros`Private`"]
  90.  
  91. BesselJZeros::nasymp =
  92. BesselYZeros::nasymp =
  93. BesselJPrimeZeros::nasymp =
  94. BesselYPrimeZeros::nasymp =
  95. BesselJYJYZeros::nasymp =
  96. BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros::nasymp =
  97. BesselJPrimeYJYPrimeZeros::nasymp =
  98. "Warning: the asymptotic expression for the starting values to FindRoot[ ]
  99. is not valid in the region of zero number `1`.  Result may be the wrong zero."
  100.  
  101. x$fr;    (* variable to use in FindRoot[ ] *)
  102. vnl = ((TrueQ[NumberQ[#] && (# >= 0)])&)    (* validity test for nu and l *)
  103.  
  104. BesselJZeros[nu_?vnl, {m_Integer, n_Integer}, opts___] :=
  105.     Module[{ans}, ans /; (ans = bz[nu, m, n, BesselJZeros, opts]) =!= $Failed];
  106. BesselJZeros[nu_?vnl, n_Integer, opts___] :=
  107.     Module[{ans}, ans /; (ans = bz[nu, 1, n, BesselJZeros, opts]) =!= $Failed];
  108.  
  109. BesselYZeros[nu_?vnl, {m_Integer, n_Integer}, opts___] :=
  110.     Module[{ans}, ans /; (ans = bz[nu, m, n, BesselYZeros, opts]) =!= $Failed];
  111. BesselYZeros[nu_?vnl, n_Integer, opts___] :=
  112.     Module[{ans}, ans /; (ans = bz[nu, 1, n, BesselYZeros, opts]) =!= $Failed];
  113.  
  114. BesselJPrimeZeros[nu_?vnl, {m_Integer, n_Integer}, opts___] :=
  115.     Module[{ans},
  116.     ans /; (ans = bz[nu, m, n, BesselJPrimeZeros, opts]) =!= $Failed];
  117. BesselJPrimeZeros[nu_?vnl, n_Integer, opts___] :=
  118.     Module[{ans},
  119.     ans /; (ans = bz[nu, 1, n, BesselJPrimeZeros, opts]) =!= $Failed];
  120.  
  121. BesselYPrimeZeros[nu_?vnl, {m_Integer, n_Integer}, opts___] :=
  122.     Module[{ans},
  123.     ans /; (ans = bz[nu, m, n, BesselYPrimeZeros, opts]) =!= $Failed];
  124. BesselYPrimeZeros[nu_?vnl, n_Integer, opts___] :=
  125.     Module[{ans},
  126.     ans /; (ans = bz[nu, 1, n, BesselYPrimeZeros, opts]) =!= $Failed];
  127.  
  128. bz[nu_, m_, n_, f_, opts___] :=
  129.     Module[{i, wp, ag, ff},
  130.     wp = WorkingPrecision /. {opts} /. Options[f];
  131.     ag = AccuracyGoal /. {opts} /. Options[f];
  132.     If[ag === Automatic, ag = wp - 6];
  133.     If[!TrueQ[0 < wp && 0 < ag < wp], Return[$Failed]];
  134.     ff = bzfunc[f, nu];
  135.     Table[x$fr /. FindRoot[ff[x$fr], guess[f, i, nu],
  136.             WorkingPrecision -> wp, AccuracyGoal -> ag,
  137.             MaxIterations -> 35],
  138.         {i, m, n}]
  139.     ]
  140.  
  141. BesselJYJYZeros[nu_?vnl, l_?vnl, {m_Integer, n_Integer}, opts___] :=
  142.     Module[{ans},
  143.     ans /; (ans = bcz[nu, l, m, n, BesselJYJYZeros, opts]) =!= $Failed];
  144. BesselJYJYZeros[nu_?vnl, l_?vnl, n_Integer, opts___] :=
  145.     Module[{ans},
  146.     ans /; (ans = bcz[nu, l, 1, n, BesselJYJYZeros, opts]) =!= $Failed];
  147.  
  148. BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros[nu_?vnl, l_?vnl,
  149.                     {m_Integer, n_Integer}, opts___] :=
  150.     Module[{ans}, ans /; (ans = bcz[nu, l, m, n,
  151.     BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros, opts]) =!= $Failed];
  152. BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros[nu_?vnl, l_?vnl, n_Integer, opts___] :=
  153.     Module[{ans}, ans /; (ans = bcz[nu, l, 1, n,
  154.     BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros, opts]) =!= $Failed];
  155.  
  156. BesselJPrimeYJYPrimeZeros[nu_?vnl, l_?vnl, {m_Integer, n_Integer}, opts___] :=
  157.     Module[{ans}, ans /;
  158.     (ans = bcz[nu, l, m, n, BesselJPrimeYJYPrimeZeros, opts]) =!= $Failed];
  159. BesselJPrimeYJYPrimeZeros[nu_?vnl, l_?vnl, n_Integer, opts___] :=
  160.     Module[{ans}, ans /;
  161.     (ans = bcz[nu, l, 1, n, BesselJPrimeYJYPrimeZeros, opts]) =!= $Failed];
  162.  
  163. bcz[nu_, l_, m_, n_, f_, opts___] :=
  164.     Module[{i, wp, ag, ff},
  165.     wp = WorkingPrecision /. {opts} /. Options[f];
  166.     ag = AccuracyGoal /. {opts} /. Options[f];
  167.     If[ag === Automatic, ag = wp - 6];
  168.     If[!TrueQ[0 < wp && 0 < ag < wp && l != 1], Return[$Failed]];
  169.     ff = bczfunc[f, nu, l];
  170.     Table[x$fr /. FindRoot[ff[x$fr], cguess[f, i, nu, l],
  171.             WorkingPrecision -> wp, AccuracyGoal -> ag,
  172.             MaxIterations -> 35],
  173.         {i, m, n}]
  174.     ]
  175.  
  176. mu[nu_] := 4 nu^2;
  177.  
  178. (* -------------------- J, Y, JPrime YPrime --------------------------- *)
  179.  
  180. beta[BesselJZeros, s_, nu_] := N[Pi] (s + nu/2 - 0.25);
  181. beta[BesselYZeros, s_, nu_] := N[Pi] (s + nu/2 - 0.75);
  182. beta[BesselJPrimeZeros, s_, nu_] := N[Pi] (s + nu/2 - 0.75);
  183. beta[BesselYPrimeZeros, s_, nu_] := N[Pi] (s + nu/2 - 0.25);
  184.  
  185. guess[BesselJZeros, s_, nu_] := guess1[BesselJZeros, s, nu];
  186. guess[BesselYZeros, s_, nu_] := guess1[BesselYZeros, s, nu];
  187. guess[BesselJPrimeZeros, s_, nu_] := guess2[BesselJPrimeZeros, s, nu];
  188. guess[BesselYPrimeZeros, s_, nu_] := guess2[BesselYPrimeZeros, s, nu];
  189.  
  190. guess1[f_, s_, nu_] :=        (* A&S 9.5.12 *)
  191.     Module[{b = beta[f, s, nu], m = mu[nu], z},
  192.     z = 64(m-1)(6949m^3-153855m^2+1585743m-6277237)/(105 (8b)^7);
  193.     z += 32(m-1)(83m^2-982m+3779)/(15 (8b)^5);
  194.     z += (m-1)/(8b) + 4(m-1)(7m-31)/(3 (8b)^3);
  195.     If[Abs[z] > 1, Message[f::nasymp, s]];
  196.     z = b-z;
  197.     {x$fr, z-1, z+1}  (* starting range *)
  198.     ]
  199.  
  200. guess2[f_, s_, nu_] :=        (* A&S 9.5.13 *)
  201.     Module[{b = beta[f, s, nu], m = mu[nu], z},
  202.     z = 64(6949m^4+296492m^3-1248002m^2+7414380m-5853627)/(105 (8b)^7);
  203.     z += 32(83m^3+2075m^2-3039m+3537)/(15 (8b)^5);
  204.     z += (m+3)/(8b) + 4(7m^2+82m-9)/(3 (8b)^3);
  205.     If[Abs[z] > 1, Message[f::nasymp, s]];
  206.     z = b-z;
  207.     {x$fr, z-1, z+1}  (* starting range *)
  208.     ]
  209.  
  210. bzfunc[BesselJZeros, nu_] := BesselJ[nu, #]&
  211. bzfunc[BesselYZeros, nu_] := BesselY[nu, #]&
  212. bzfunc[BesselJPrimeZeros, nu_] := (Evaluate[Derivative[0,1][BesselJ][nu, #]])&
  213. bzfunc[BesselYPrimeZeros, nu_] := (Evaluate[Derivative[0,1][BesselY][nu, #]])&
  214.  
  215. (* -------------------- cross products --------------------------- *)
  216.  
  217. cguess[BesselJYJYZeros, s_, nu_, l_] := guess3[s, nu, l];
  218. cguess[BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros, s_, nu_, l_] := guess4[s, nu, l];
  219. cguess[BesselJPrimeYJYPrimeZeros, s_, nu_, l_] := guess5[s, nu, l];
  220.  
  221. guess3[s_, nu_, ll_] :=        (* A&S 9.5.28 *)
  222.     Module[{b, m = mu[nu], z, p, q, r, l},
  223.     l = If[ll > 1, ll, 1/ll];
  224.     b = N[Pi] s/(l-1);
  225.     p = (m-1)/(8l);
  226.     q = (m-1)(m-25)(l^3-1)/(6 (4l)^3 (l-1));
  227.     r = (m-1)(m^2-114m+1073)(l^5-1)/(5 (4l)^5 (l-1));
  228.     z = p/b + (q - p^2)/b^3 + (r - 4 p q + 2 p^3)/b^5;
  229.     p = 1/(l-1);
  230.     If[Abs[z] > p, Message[BesselJYJYZeros::nasymp, s]];
  231.     z += b;
  232.     If[ll < 1, z *= l; p *= l];
  233.     {x$fr, z-p, z+p} (* starting range *)
  234.     ]
  235.  
  236. guess4[s_, nu_, ll_] :=        (* A&S 9.5.31 *)
  237.     Module[{b, m = mu[nu], z, p, q, r, l},
  238.     l = If[ll > 1, ll, 1/ll];
  239.     b = N[Pi] s/(l-1);
  240.     p = (m+3)/(8l);
  241.     q = (m^2+46m-63)(l^3-1)/(6 (4l)^3 (l-1));
  242.     r = (m^3+185m^2-2053m+1899)(l^5-1)/(5 (4l)^5 (l-1));
  243.     z = p/b + (q - p^2)/b^3 + (r - 4 p q + 2 p^3)/b^5;
  244.     p = 1/(l-1);
  245.     If[Abs[z] > p, Message[BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros::nasymp,s]];
  246.     z += b;
  247.     If[ll < 1, z *= l; p *= l];
  248.     {x$fr, z-p, z+p} (* starting range *)
  249.     ]
  250.  
  251. guess5[s_, nu_, ll_] :=        (* A&S 9.5.33 *)
  252.     Module[{b, m = mu[nu], z, p, q, r, l},
  253.     l = If[ll > 1, ll, 1/ll];
  254.     b = N[Pi] (s-1/2)/(l-1);
  255.     p = ((m+3)l-(m-1))/(8l(l-1));
  256.     q = ((m^2+46m-63)l^3-(m-1)(m-25))/(6 (4l)^3 (l-1));
  257.     r = ((m^3+185m^2-2053m+1899)l^5-(m-1)(m^2-114m+1073))/(5 (4l)^5 (l-1));
  258.     z = p/b + (q - p^2)/b^3 + (r - 4 p q + 2 p^3)/b^5;
  259.     p = 1/(l-1);
  260.     If[Abs[z] > p, Message[BesselJPrimeYJYPrimeZeros::nasymp, s]];
  261.     z += b;
  262.     If[ll < 1, z *= l; p *= l];
  263.     {x$fr, z-p, z+p} (* starting range *)
  264.     ]
  265.  
  266. bczfunc[BesselJYJYZeros, nu_, l_] :=
  267.     (BesselJ[nu, #] BesselY[nu, l #] - BesselJ[nu, l #] BesselY[nu, #])&
  268.  
  269. bczfunc[BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros, nu_, l_] := (Evaluate[
  270.     (Derivative[0,1][BesselJ][nu, #] Derivative[0,1][BesselY][nu, l #] -
  271.     Derivative[0,1][BesselJ][nu, l #] Derivative[0,1][BesselY][nu, #])])&
  272.  
  273. bczfunc[BesselJPrimeYJYPrimeZeros, nu_, l_] := (Evaluate[
  274.     (Derivative[0,1][BesselJ][nu, #] BesselY[nu, l #] -
  275.     BesselJ[nu, l #] Derivative[0,1][BesselY][nu, #])])&
  276.  
  277. End[ ] (* NumericalMath`BesselZeros`Private` *)
  278.  
  279. Protect[BesselJZeros, BesselYZeros, BesselJPrimeZeros, BesselYPrimeZeros,
  280.     BesselJYJYZeros, BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros,
  281.     BesselJPrimeYJYPrimeZeros];
  282.  
  283. EndPackage[] (* NumericalMath`BesselZeros` *)
  284.  
  285. (* Tests:
  286. BesselJ[1, #]& /@ BesselJZeros[1, 3] 
  287. BesselY[2, #]& /@ BesselYZeros[2, 4]
  288. (Evaluate[Derivative[0,1][BesselJ][3, #]])& /@ BesselJPrimeZeros[3, 4]
  289. (Evaluate[Derivative[0,1][BesselY][3, #]])& /@ BesselYPrimeZeros[3, 4]
  290. (BesselJ[1, #] BesselY[1, 2 #] - BesselJ[1, 2 #] BesselY[1, #])& /@
  291.     BesselJYJYZeros[1, 2, 3]
  292. Evaluate[Derivative[0,1][BesselJ][1,#] Derivative[0,1][BesselY][1,2#] -
  293.     Derivative[0,1][BesselJ][1,2#] Derivative[0,1][BesselY][1,#]]& /@
  294.     BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros[1, 2, 3]
  295. Evaluate[Derivative[0,1][BesselJ][2,#] BesselY[2, 11/10 #] -
  296.     BesselJ[2, 11/10 #] Derivative[0,1][BesselY][2,#]]& /@
  297.     BesselJPrimeYJYPrimeZeros[2, 11/10, 3,
  298.         WorkingPrecision -> 30, AccuracyGoal -> 20]
  299. Evaluate[Derivative[0,1][BesselJ][2,#] BesselY[2, 1/10 #] -
  300.     BesselJ[2, 1/10 #] Derivative[0,1][BesselY][2,#]]& /@
  301.     BesselJPrimeYJYPrimeZeros[2, 1/10, 3]
  302. (BesselJ[1, #] BesselY[1, 1/2 #] - BesselJ[1, 1/2 #] BesselY[1, #])& /@
  303.     BesselJYJYZeros[1, 1/2, 3]
  304. (BesselJ[1, #] BesselY[1, 9/10 #] - BesselJ[1, 9/10 #] BesselY[1, #])& /@
  305.     BesselJYJYZeros[1, 9/10, 3]
  306. Evaluate[Derivative[0,1][BesselJ][1,#] Derivative[0,1][BesselY][1,#/2] -
  307.     Derivative[0,1][BesselJ][1,#/2] Derivative[0,1][BesselY][1,#]]& /@
  308.     BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros[1, 1/2, 3]
  309.  
  310. BesselJ[1, #]& /@ BesselJZeros[1, {3, 5}] 
  311. BesselY[2, #]& /@ BesselYZeros[2, {4, 6}]
  312. (Evaluate[Derivative[0,1][BesselJ][3, #]])& /@ BesselJPrimeZeros[3, {2, 4}]
  313. (Evaluate[Derivative[0,1][BesselY][3, #]])& /@ BesselYPrimeZeros[3, {2, 4}]
  314. (BesselJ[1, #] BesselY[1, 2 #] - BesselJ[1, 2 #] BesselY[1, #])& /@
  315.     BesselJYJYZeros[1, 2, {3, 5}]
  316. Evaluate[Derivative[0,1][BesselJ][1,#] Derivative[0,1][BesselY][1,2#] -
  317.     Derivative[0,1][BesselJ][1,2#] Derivative[0,1][BesselY][1,#]]& /@
  318.     BesselJPrimeYPrimeJPrimeYPrimeZeros[1, 2, {2, 3}]
  319. Evaluate[Derivative[0,1][BesselJ][2,#] BesselY[2, 11/10 #] -
  320.     BesselJ[2, 11/10 #] Derivative[0,1][BesselY][2,#]]& /@
  321.     BesselJPrimeYJYPrimeZeros[2, 11/10, {707, 709}]
  322. *)
  323.  
  324.  
  325.