home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ 3D Madness! Companion CD / 3DMADNESS.iso / vistapro / wininst / manual / appa.txt next >
Text File  |  1993-08-03  |  5KB  |  123 lines
  1. _____________________________
  2.  
  3. Appendix A
  4. Vistapro User Manual
  5. _____________________________
  6.  
  7. WHAT ARE FRACTALS AND FRACTAL GEOMETRY?
  8. by Daniel Wolf, Ph.D.
  9.  
  10.  
  11. The concept of fractal geometry is the basis of Vistapro's 
  12. capacity to generate imaginary scenes. Many computer graphics 
  13. enthusiasts have become interested in fractal graphics through 
  14. programs such as Vistapro, and public domain Mandelbrot and 
  15. scenery programs. The popularity of fractal graphics using 
  16. personal computers traces back to the appearance of stunning 
  17. images of the Mandelbrot Set (a type of fractal object) on the 
  18. cover of Scientific American in August of 1985. That widespread 
  19. exposure of these strangely beautiful abstract objects led many 
  20. amateur and professional programmers to the original source 
  21. book on fractals: The Fractal Geometry of Nature (by Benoit 
  22. Mandelbrot). 
  23.  
  24. While fractals and fractal geometry have become hot buzzwords 
  25. in the computer graphics field, it is not obvious what they 
  26. are. The following description is simplified, and interested 
  27. students and readers should read Mandelbrot's book on the 
  28. subject.
  29.  
  30. We owe the word fractal to Mr. Mandelbrot, a mathematician and 
  31. Fellow at IBM's Watson research organization in New York. 
  32. Fractal refers to objects with fractional dimensions, that is, 
  33. objects which don't really fit into the ordinary world of 
  34. things like lines (1-dimensional), surfaces (2-dimensional) and 
  35. solids (3-dimensional). Fractals are objects which fit in-
  36. between these normal-dimensional objects. 
  37.  
  38. Mandelbrot took an interest in a long neglected area of 
  39. mathematics which originated at the turn of this century. Some 
  40. devotees of geometry at that time began to study lines which 
  41. didn't behave like ordinary lines.
  42.  
  43. If you read Mandelbrot's book you'll become familiar with some 
  44. of the mathematical history of things like Peano curves, 
  45. Hilbert curves, and Koch snowflakes. What makes these objects 
  46. so strange, and what led Mandelbrot to look deeper, are two 
  47. properties: these lines tend to fill up a 2-dimensional surface 
  48. (they act as if they are something in between lines and 
  49. planes), and their appearance seems to be identical no matter 
  50. how much they are magnified. Magnified small portions of these 
  51. fractal lines tend to look like the whole unmagnified line. Odd 
  52. indeed! 
  53.  
  54. Mathematicians at the turn of the century tended to call such 
  55. objects pathological and didn't have a good way of integrating 
  56. them into the rest of mathematics, especially geometry. 
  57. Geometry was mostly dominated by the study of well-behaved, 
  58. smooth, simple forms like lines, planes, and solids. Mandelbrot 
  59. made a systematic study of these weird fractional dimension 
  60. geometric forms and helped bring them into the mathematical 
  61. fold. 
  62.  
  63. Mandelbrot also showed how these objects are models of many 
  64. things found in the natural world, like surface textures of 
  65. mountains, coastlines of islands, and branching designs of 
  66. plants, trees, blood vessels, and lung tubes (bronchi).
  67.  
  68. If you want to envision a mental picture of how Vistapro 
  69. exploits fractal geometry to generate natural looking land 
  70. surface textures, take the following little mental journey into 
  71. the process of crumpling a sheet of paper:
  72.  
  73. 1. Imagine a flat triangular sheet of paper. 
  74.  
  75. 2. Divide the sheet into a small number of sub-triangles. 
  76.  
  77. 3. Randomly select some of the intersection points and raise or 
  78.    lower them (by a large amount) above the original plane of 
  79.    the flat sheet. 
  80.  
  81. 4. Now divide the sub-triangles into smaller sub-triangles. 
  82.  
  83. 5. Randomly raise and lower some of the newly created corner 
  84.    points like you did in step 3, but by a smaller amount than 
  85.    in step 3. 
  86.  
  87. 6. Keep repeating steps 4 and 5 making smaller and smaller sub-
  88.    triangles and raising and lowering corner points randomly by 
  89.    smaller and smaller amounts at each step. 
  90.  
  91. 7. Stop when you've reached a point where each smaller division
  92.    into sub-triangles can't make any more difference in 
  93.    appearance on a limited resolution display like a computer 
  94.    monitor. 
  95.  
  96. 8. Now color all the little sub-triangles by a method which 
  97.    makes the highest corner points white (snow on the mountain 
  98.    tops), lower ones brown and green (mountain sides with 
  99.    trees) and the lowest ones blue (a lake at the bottom of the 
  100.    mountain valley).
  101.  
  102. If we did Steps 4 and 5 using some regular (non-random) 
  103. technique, in the end the highly crumpled surface would be a 
  104. lot like the first fractals explored by Mandelbrot; they would 
  105. look similar at any degree of magnification they were viewed. 
  106. The introduction of randomness to the process makes them look 
  107. similarly random at different degrees of magnification.
  108.  
  109. If you are interested in further exploring fractal geometry, 
  110. here are some great books:
  111.  
  112. The Fractal Geometry of Nature (by B. Mandelbrot) 
  113. The Beauty of Fractals (by H. Peitgen and P. Richter) 
  114. The Science of Fractal Images (by H. Peitgen and D. Saupe)
  115.  
  116. Daniel Wolf, Ph.D. is author and publisher of FractalPro, and 
  117. President of MegageM
  118.  
  119.  
  120. *** End of Appendix A ***
  121.  
  122.  
  123.