home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ RISC DISC 2 / RISC_DISC_2.iso / pd_share / graphics / if / !IFS / !Help next >
Encoding:
Text File  |  1994-04-16  |  5.6 KB  |  122 lines
  1.  
  2.   Program: !IFS
  3.  
  4.   Version: 1.00 (16 Apr 1994)
  5.  
  6.   Author:  J.O.Linton
  7.            Greenacres, Quatford, Bridgnorth, Shropshire, WV15 6QG
  8.           
  9.   Purpose: Displays IFS fractals
  10.  
  11.  
  12.   What is an IFS?
  13.   ~~~~~~~~~~~~~~~
  14.  
  15.   An Iterated Function System or IFS is a set of LINEAR
  16. TRANSFORMATIONS each of which is a set of equations which map any
  17. given point on the plane onto another unique point. These equations
  18. are LINEAR - that is to say, they contain no complicated mathematical
  19. functions, not even squares and cubes. In fact they are very simple:
  20.   
  21.         X' = aX + cY + P
  22.         Y' = bX + dY + Q
  23.         
  24. where a,b,c,d,P and Q are constants. If you were to apply one of these
  25. transformations to all the points on a square then, depending on the
  26. values of the constants, you could do some or all of these things:
  27.  
  28.   a) MOVE the square somewhere else,
  29.   b) EXPAND or SQASH the square,
  30.   c) SHEAR the square or
  31.   d) ROTATE the square
  32.   
  33.   In spite of their simplicity, linear transformations are quite
  34. powerful!
  35.  
  36.   In order to produce an iteresting IFS fractal you need at least
  37. two carefully chosen transformations. At each iteration, one of the
  38. transformations is chosen at randon and a point is plotted. In
  39. general, one of three things can happen. The point can enter a cycle
  40. which repeats over and over again or it can shoot off to infinity.
  41. Neither of these possibilities is very interesting. The third
  42. possibility is that the point builds up a fractal picture which has
  43. infinite detail and which can be very beautiful. In general, to obtain
  44. non-trivial fractals, most of the transforms used will be contractive
  45. (ie they make the picture smaller.) One of the most surprising things
  46. about an IFS is that the starting point used to set things going is
  47. irrelevant. Each set of transforms produces its own unique fractal.
  48.  
  49.  
  50.   How to use the program
  51.   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  52.   
  53.   The program is RISC-OS compliant and its menus should be
  54. self-explanatory. To obtain information on the tool pane icons etc.
  55. use the interactive help program supplied with your computer.
  56.  
  57.   Up to 8 transformations can be selected and edited. Each transform
  58. is defined by a number of control points, any of which can be dragged
  59. around to change the characteristics of the transformation. Initially
  60. the transform is in the shape of a square.Note that one of the control
  61. ponts on the transform is an open circle. This is to distinguish it
  62. from the similar control point on the other side. If you drag this
  63. point to the other side, the original area will be flipped over as
  64. well as deformed. The control point in the centre allows you to rotate
  65. the transform about its origin and the control point (initially) at
  66. the top right scales the transform. To select and deselect each
  67. transform, use the option icons in the 'Transforms' window.
  68.  
  69.   In addition to the 8 coloured transforms, there is a base square
  70. with two draggable control points which defines the area which is
  71. transformed. You must imagine this area moved, squashed, squuezed and
  72. rotated into the area defined by the coloured transform. This can be
  73. edited in the same way using the ADJUST button to move the origin or
  74. scale the square. Using SELECT instead of ADJUST moves or scales all
  75. the transforms as well. This allows you to move and scale the whole
  76. picture easily.
  77.  
  78.   To experiment, simply select the transforms you want from the tool
  79. pane and drag the points around where you please. You are almost bound
  80. to stumble on something pretty!
  81.  
  82.   One further transform is provided called the repeating transform.
  83. If it is selected, it plots one or more repeat copies of the whole
  84. fractal. Its main use is to enhance the appearance of the fractal by,
  85. for example, providing a reflection, or in the case of the SnoFlake,
  86. completing the Koch triangle.
  87.  
  88.  
  89.   Some hints on making interesting fractals
  90.   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  91.   
  92.   While it is almost impossible to predict what fractal will emerge
  93. from a given set of transforms, it is relatively easy to work out what
  94. transforms were used to produce a given fractal. The crucial thing to
  95. remember is that every fractal is made up of complete copies of
  96. itself. For example in the default fractal (the Sierpinsky triangle)
  97. each major triangle is a complete copy of the whole thing. It
  98. therefore follows that three transforms are needed, one for each of
  99. these internal copies. If you use the 'Colour as for last transform'
  100. option you will see clearly what I mean. In the case of the Koch
  101. snowflake curve, four copies are needed, two of which are rotated. If
  102. you look at the 'Fern' IFS, you will see that each of the two base
  103. fronds is a copy of the whole fern. (Note that one of the fronds is
  104. 'flipped'.) The stem is merely a completely squashed copy of the whole
  105. picture. The transform that performs the fractal magic is the one that
  106. copies the whole fern onto everything except the two base fronds and
  107. the stem.
  108.  
  109.   This transform is interesting from another point of view. What it
  110. does is to transform a point in one of the base fronds into a point in
  111. the next frond further up by moving it and slightly rotating it. In
  112. order to get produce the fronds at the tip of the fern, this transform
  113. has to be applied repeatedly several times. (To see what I mean, turn
  114. the 'Colour by number of repeated transforms' option on.) Now, if the
  115. transforms were chosen with equal probability, few points would ever
  116. get to the tip of the fern. This is why a facility has been provided
  117. to adjust the probabilities for each transform. Try reducing the
  118. probability of this transform and see the effect. Note that adjusting
  119. the probabilities makes no difference at all to the final fractal, it
  120. merely helps to obtain an acceptable picture more quickly.
  121.  
  122.