home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / physics / 23272 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-22  |  6.6 KB

  1. Xref: sparky sci.physics:23272 alt.sci.physics.new-theories:2799
  2. Newsgroups: sci.physics,alt.sci.physics.new-theories
  3. Path: sparky!uunet!well!sarfatti
  4. From: sarfatti@well.sf.ca.us (Jack Sarfatti)
  5. Subject: Wavelets 21: Group Theory, Fiber Bundles, Squeezed States.
  6. Message-ID: <C19218.A1s@well.sf.ca.us>
  7. Sender: news@well.sf.ca.us
  8. Organization: Whole Earth 'Lectronic Link
  9. Date: Fri, 22 Jan 1993 09:51:07 GMT
  10. Lines: 150
  11.  
  12.  
  13. 21. Group theory of wavelets.
  14. (My comments between *..*)Given a unitary representation U of any Lie group
  15. group G acting on a Hilbert space H. Choose arbitrary "fiducial (window)
  16. vector" h in H. When G is the affine group of the plane R^2, then h is "the
  17. basic wavelet". For every g in G
  18.  
  19. hg = U(g)h     (192)
  20.  
  21. U unitary implies "rigidity"
  22.  
  23. ||hg|| = ||h||   (193)
  24.  
  25. *Recall that this rigidity (i.e., invariance of inner product) plus
  26. orthogonality of single-particle kets in the entangled pair state,
  27. together, prevent quantum connection communication outside the light cone
  28. and backwards-in-time on or inside the light cone within standard quantum
  29. mechanics.*
  30.  
  31. "Covariance" of the hg's means
  32.  
  33. U(g')hg = U(g')U(g)h = U(g'g)h = hg'g  (194)
  34.  
  35. i.e., covariance, in Kaiser's sense, means that U is at least a many -> one
  36. homomorphic image of G.
  37.  
  38. Consider now the set K of all elements k in G for which the action U(k) on
  39. h reduces to a multiplication by the phase factor e^i@(k). In the case of a
  40. "slice" of W1 for the Weyl-Heisenberg group of a 1D oscillator, K consists
  41. of all k = (0,0,@#(0,0)). In general U(k) is non-trivial acting trivially
  42. as a phase factor only with K which depends on initial choice h, i.e.,
  43. K(h). K is a subgroup of G.
  44.  
  45. The map
  46.  
  47. k -> e^i@(k) (195)
  48.  
  49. is a homomorphism of K to unit circle i.e. a "character" of K which is
  50. defined as a unitary representation of K on the one-dimensional Hilbert
  51. space C (the complex plane). K(h) is the "stability subgroup" of "basic
  52. wavelet" (now for any G not just affine group). "Stability" can be replaced
  53. by "normal" or "invariant" in this context. The Lie algebra of K(h) is the
  54. "stability subalgebra". K is a "gauge symmetry" of the quantum mechanical
  55. state |h> corresponding to he basic wavelet. If ||h|| = 1, the quantum pure
  56. state is the projection operator
  57.  
  58. P(h) = |h><h|  (196)
  59.  
  60. P(hg) = |hg><hg| = U(g)P(h)U(g)* (197)
  61.  
  62. If g = k in K(h), then
  63.  
  64. P(k) = P(h)   (198)
  65.  
  66. P is stable or invariant under K.
  67.  
  68. Kaiser uses "states" in the sense of diagonal outer-product ket-bra
  69. projection operators not as vectors (or projective rays) in the Hilbert
  70. space. The use of projection operators "eliminates the fictitious degree of
  71. freedom represented by the over-all phase (global gauge invariance). In
  72. communication theory, an overall phase shift has no effect on the
  73. informational content of the signal. In contrast, the Hilbert space vectors
  74. paly an essential role for "holomorphy". For example, the coherent states
  75. have an analytic representation f(z), whereas |f(z)|^2 is not analytic.
  76.  
  77. If g in G but k in K, then
  78.  
  79. hgk = U(gk)h = e^i@(k) hg    (199)
  80.  
  81. P(gk) = P(g)  (200)
  82.  
  83. Thus, Pg is the same for all members of the left coset gK. The set of all
  84. translates is therefore parametrized by the left-coset space
  85.  
  86. M = G/K = {gK, g in G}   (201)
  87.  
  88. m is in M.
  89.  
  90. *How classical phase space relates to quantum Hilbert space?
  91. For the Weyl-Heisenberg W1 (see 20) M is simply the classical phase space
  92. (p,x) in R^2. The classical phase space is thus the quotient space of the
  93. group G acting on the quantum Hilbert space H modulo the normal subgroup
  94. K(h) generated from the basic wavelet h. The individual coset m = (p,x)K in
  95. M = G/K which is a "point" in classical phase space, is a "line" in Weyl-
  96. Heisenberg group space W1 (with the topology of R^3).
  97.  
  98. W1 is a degenerate non-relativistic limit of phase spacextime and the coset
  99. (p,x)K is the trajectory of a free classical particle - says Kaiser on
  100. p.109.
  101.  
  102. To build a "G-frame", pick a slice of G by choosinf a single representative
  103. from each coset gK(h). (For the above example, recall from 20 that g =
  104. (p,x,@#(p,x) in a slice.) This is a non-trivial map
  105.  
  106. s:G/K -> G   (202)
  107.  
  108. Note that G -> G/K defines a "fiber bundle" and the map s in eq. (202) is a
  109. "section" or "cross-section" of the bundle (which will be a classical field
  110. in physics if M is spacetime rather than phase space). s is smooth only
  111. locally in a neigborhood of each point m. The state P(m) is independent of
  112. the choice of s.
  113.  
  114. To finish building the frame we need the action of G on the quotient space
  115. (i.e. base space of the fiber bundle) and a measure on M invariant under
  116. the action of G.  The G-action is easy. It is
  117.  
  118. g'(gK) = (g'g)K  (203)
  119.  
  120. So, if m = gK in M, (g'g)K is g'm. M is also called a "homogeneneous
  121. space". If G is unimodular (i.e. if left and right invariant measures are
  122. proportional by a constant at every point in m, then Helgasson has a
  123. theorem for the existence of the invariant measure - what about its
  124. construction? Call the measure du(M).
  125.  
  126. J = Int(M)[du(M)|h(s)m><h(s)m|    (204)
  127.  
  128. If J commutes with every U(g') then irreducibility and Schur's lemma forces
  129. J = cI. But like the Weyl-Hesienberg case in 20 there will be a phase
  130. factor problem in the composition. The h(s)m are covariant only mod a
  131. residual phase factor e^-i@#(g'g)e^i@#(g). But the states are covariant
  132.  
  133. U(g')P(m)U(g')* = P(m)  (205)
  134.  
  135. It is easy to show then that J commutes with every U(g) from unitarity and
  136. invariance of the measure.
  137.  
  138. Given a fixed g in G, the stability subgroup for basic wavelet h is K(h)
  139. but the stability subgroup for U(g)h is gK(h)g^-1 which is a subgroup of G
  140. conjugate to K(h). In general, the stability subgroups of two possible
  141. basic wavelets h1 and h2 may not be conjugate. K(h1) may have an invariant
  142. measure while K(h2) does not. This suggests an objective choice for the
  143. basic wavelet so as to maximize the stability subgroup which minimizes the
  144. homogenous space M = G/K improving the chance that the resolution integral
  145. for J will converge as it must for a finite theory.
  146.  
  147. *Both the Glauber-Klauder coherent states of optical coherence theory and
  148. the windowed Fourier transforms of classical signal detection theory
  149. provide "phase space " representations. However, the optical coherence
  150. states have analytic (holomorphic) properties. All phase-space
  151. representations appear to be analytic in this sense. The coherent quantum
  152. state of a radiation oscillator is a circle of minimum area h in the
  153. dynamical (p,x) of the corresponding classical oscillator. The optical
  154. squeezed state, enhancing signal/noise ratio, achieved in laser
  155. interferometry is an ellipse rather than a circle in phase space. There are
  156. relativistic coherent states from the Poincare group. Are there coherent
  157. states for the diffeomorphism of general relativity?
  158.  
  159. to be continued.
  160.  
  161.  
  162.