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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / numanal / 3998 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-29  |  2.1 KB  |  41 lines
  1. Newsgroups: sci.math.num-analysis
  2. Path: sparky!uunet!europa.eng.gtefsd.com!howland.reston.ans.net!zaphod.mps.ohio-state.edu!pacific.mps.ohio-state.edu!cis.ohio-state.edu!news.sei.cmu.edu!bb3.andrew.cmu.edu!crabapple.srv.cs.cmu.edu!oghattas
  3. From: oghattas+@cs.cmu.edu (Omar Ghattas)
  4. Subject: Re: FEM with SYMMETRIC but NON-POSITIVE stiffness
  5. Message-ID: <C1LKpA.7F.1@cs.cmu.edu>
  6. Sender: news@cs.cmu.edu (Usenet News System)
  7. Nntp-Posting-Host: gaia.edrc.cmu.edu
  8. Organization: School of Computer Science, Carnegie Mellon
  9. References: <ROGER.93Jan27083432@kea.grace.cri.nz>
  10. Distribution: inet
  11. Date: Fri, 29 Jan 1993 04:05:32 GMT
  12. Lines: 27
  13.  
  14. >My question(s) are: is this really true? How does one set about
  15. >proving (or disproving) positive-definiteness? what is the
  16. >physical significance of positive-definiteness?
  17.  
  18. The existence of a definite coefficient matrix is a sign that the 
  19. operator form of the problem can be obtained by an extremum principle
  20. (minimum principle => positive definite, max => neg def). This is
  21. typically possible for self-adjoint, (positive) definite operators. 
  22. In this case, the Ritz method and the Galerkin method are equivalent, 
  23. and it can be shown that the resulting approximation is optimal, in the 
  24. sense that it minimizes the discretization error (in an "energy" norm). 
  25. It is easy to show that the coefficient matrix must be (positive) 
  26. definite. The classic example is linear elasticity; the minimum 
  27. principle is minimum potential energy or minimum complimentary energy. 
  28. For example, the differential equation for axial deformation of an 
  29. elastic bar -ku" = f can be obtained by finding u(x) that minimizes 
  30. the functional \int 0.5k(u')^2 - fu dx. On the other hand, the 
  31. convection-diffusion equation -ku" + cu' = f is not derivable by 
  32. extremizing a functional, so we cannot expect the coefficient matrix 
  33. be definite. 
  34.  
  35. Numerically, many nice properties accrue from positive definiteness. 
  36. With direct methods, we need not worry about stability and are free to 
  37. pivot to reduce fill-in. Certain iterative methods (e.g. Jacobi, Gauss 
  38. Seidel, conjugate gradients) are guaranteed to converge from any 
  39. starting iterate. 
  40.  
  41.