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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / numanal / 3970 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1993-01-27  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!comp.vuw.ac.nz!zephyr.grace.cri.nz!maths!roger
  2. From: roger@maths.grace.cri.nz (Roger Young)
  3. Newsgroups: sci.math.num-analysis
  4. Subject: FEM with SYMMETRIC but NON-POSITIVE stiffness
  5. Date: 27 Jan 93 08:34:32
  6. Organization: Applied Maths, Industrial Research Ltd, NZ.
  7. Lines: 47
  8. Distribution: inet
  9. Message-ID: <ROGER.93Jan27083432@kea.grace.cri.nz>
  10. NNTP-Posting-Host: kea.grace.cri.nz
  11.  
  12.  
  13. I have been following the correspondence in the num-analysis
  14. newsgroup concerning FE methods as applied to symmetric but
  15. non-positive definite matrices.
  16.  
  17. I appear to have a similar problem with the poro-elastic 
  18. equations. These equations are: (1) the elastic equilibrium
  19. equations with the pressure gradient as a source term (or,
  20. in fact, it can be convenient to work with the variation
  21. of these equations)
  22.  
  23.     grad(j)d(stress)(ij) = grad(i)d(pressure)
  24.  
  25. (2) the pressure diffusion equation with an additional time
  26. derivative de/dt of the elastic dilatation e = 
  27. grad(i)(displacement)(i)
  28.  
  29.     S.d(pressure)/dt + de/dt = -grad(i)q(i)
  30.  
  31. where the storage S can be taken as constant, and q is the
  32. Darcy velocity which is proportional to pressure gradient
  33. q(i) prop grad(i)(pressure).
  34.  
  35. In the displacement-pressure formulation the field vector
  36. is chosen as z = (displacement, pressure)^T. Then according
  37. to Lewis and Roberts "The Finite Element Method in Porous 
  38. Media Flow" (in Fundamentals of Transport Phenomena in Porous
  39. Media, eds Bear and Corapcioglu), the finite element equations
  40. for the coupled problem can be written in the form
  41.  
  42.     K(dz/dt) + Hz = f
  43.  
  44. where K is SYMMETRIC.
  45.  
  46. If elasticity is decoupled from pressure, then it appears that 
  47. the reduced stiffness matrix is positive definite for displacement
  48. and pressure individually. However, for the coupled problem
  49. numerical analysis appears to show that K has both +ve and -ve
  50. eigenvalues, ie is not positive definite.
  51.  
  52. My question(s) are: is this really true? How does one set about
  53. proving (or disproving) positive-definiteness? what is the
  54. physical significance of positive-definiteness?
  55.  
  56. Any help from readers would be appreciated...
  57.  
  58. Roger Young (roger@maths.grace.cri.nz) 
  59.