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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / engr / chem / 699 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-24  |  2.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!olivea!charnel!sifon!clouso.crim.ca!IRO.UMontreal.CA!bing.IRO.UMontreal.CA.IRO.UMontreal.CA!simardr
  2. From: simardr@IRO.UMontreal.CA (Richard Simard)
  3. Newsgroups: sci.engr.chem
  4. Subject: Re: A strange ODE from "population balance"
  5. Keywords: population balance, leaching reactor
  6. Message-ID: <1993Jan24.232139.17407@IRO.UMontreal.CA>
  7. Date: 24 Jan 93 23:21:39 GMT
  8. References: <C169GD.GzM@cs.mcgill.ca>
  9. Sender: news@IRO.UMontreal.CA
  10. Reply-To: simardr@IRO.UMontreal.CA (Richard Simard)
  11. Organization: Universite de Montreal
  12. Lines: 66
  13.  
  14. In article <C169GD.GzM@cs.mcgill.ca> filippou@cs.mcgill.ca (Dimitrios FILIPPOU) writes:
  15. >I'm trying to solve a peculiar problem by a method called "population
  16. >balance" (sth. like "mass balance") and I'm having difficulties
  17. >solving an ODE, where I thought I wouldn't have any problem at all.
  18. >
  19. >   dn/dr + (-1/tu)n = (-1/tu) N delta(r-r*)         (2)
  20. >
  21. >When I try to solve this ODE by Laplace transformations, I get the
  22. >following solution 
  23. >
  24. >        /  
  25. >       |   0,                       for r < r*
  26. >n(r) = |                                             (5)
  27. >       |   (-N/ut) exp{(r-r*)/tu},  for r >= r*  
  28. >        \
  29. >
  30. >
  31. >This can not be true; I cann't have a NEGATIVE answer!
  32. >Intuition says that the solution is exactly the opposite
  33. >
  34. >
  35. >        /  
  36. >       |   (N/ut) exp{(r-r*)/tu},  for r <= r*  
  37. >n(r) = |                                            (6)
  38. >       |   0,                       for r > r*
  39. >        \
  40. >
  41.  
  42. ******************************************************************
  43.  
  44. The solution to (2) is found like this:
  45.  
  46. - for r < r* or r > r*, (2) becomes:
  47.  
  48.    dn/dr + (-1/tu)n = 0  
  49.  
  50. with solution:
  51.  
  52.     n(r) = c1 exp{(r-r*)/tu},  for r < r* 
  53.  
  54.          = c2 exp{(r-r*)/tu},  for r > r* 
  55.  
  56. where c1 , c2 are constants of integration
  57.  
  58. - now integrate (2) with respect to r over an infinitesimal
  59. interval of width d, containing r*, and then let d -> 0. 
  60. Obtain:
  61.  
  62. n(r*+) - n(r*-)  =  (-1/tu) N
  63.  
  64. which fixes c2 as a function of c1 and the size of the jump
  65. in the function at r*. c1 is fixed by one initial condition.
  66.  
  67. The general solution of (2):
  68.  
  69.     n(r) = c1 exp{(r-r*)/tu},  for r < r* 
  70.  
  71.          = (c1 - N/tu) exp{(r-r*)/tu},  for r > r* 
  72.  
  73. As you can see, both (5) and (6) are particular solutions
  74. of this ODE with different initial condition.
  75.  
  76.  
  77.  
  78. --
  79. From:  simardr@iro.umontreal.ca
  80.