home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / physics / 22559 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-12  |  3.3 KB

  1. Xref: sparky sci.physics:22559 alt.sci.physics.new-theories:2732
  2. Newsgroups: sci.physics,alt.sci.physics.new-theories
  3. Path: sparky!uunet!well!sarfatti
  4. From: sarfatti@well.sf.ca.us (Jack Sarfatti)
  5. Subject: Wavelets, squeezed states 12: Wavelet Transform.
  6. Message-ID: <C0q8qL.MqK@well.sf.ca.us>
  7. Sender: news@well.sf.ca.us
  8. Organization: Whole Earth 'Lectronic Link
  9. Date: Tue, 12 Jan 1993 06:01:32 GMT
  10. Lines: 73
  11.  
  12.  
  13. 12. The window called "the basic wavelet" is scaled for waves of different
  14. frequencies. Introduce a =/ 0 and define
  15.  
  16. h[a,s](t) = |a|^-1/2 h((t-s)/a)    (85)
  17.  
  18. *Note -earlier I did not distinguish "||...||" from "|..|" - the integrals
  19. of |...| are ||..|| - so some of earlier formulae have to be corrected. I
  20. will use correct notation from now on as those earlier formulae recur.
  21.  
  22. ||h[a,s]||^2 = Integral(-+inf)[dt|h[a,s](t)|^2]= ||h||^2   (86)
  23.  
  24. * a can be, and must be, under some conditions, negative real.
  25.  
  26. Classically h and f are real - take them as complex and take real part as
  27. in classical wave theory. In QM h and f are really complex - do not take
  28. real part only.
  29.  
  30. Define the wavelet transform as
  31.  
  32. F(a,s) = <h[a,s]|f> = Int(-+inf)[dt|a|^-1/2 h((t-s)/a)* f(t)]  (87)
  33.  
  34. where * means complex conjugate (cc).
  35.  
  36. This wavelet transform also localizes signals (i.e., time-series of complex
  37. systems - possibly chaotic with fractal attractors in phase space) in the
  38. time-frequency plane (i.e. phase space).
  39.  
  40. First look at localization in time. If the window h(t) is concentrated near
  41. t = 0 ( drop requirement of window with compact support), then F(a,s) is a
  42. weighted average of the signal f(t) around t = s.
  43.  
  44. *The weight function is not generally positive so you cannot think of it as
  45. a classical probability density - wavelets demand a kind of "negative
  46. probability density" in a naive sense (e.g. Wigner phase - space function).
  47.  
  48. Next look at the localization in frequency. Like the earlier windowed
  49. Fourier transform, the wavelet transform has rigid time-translations of the
  50. window looking like a convolution. For example, let f(t) be the Dirac delta
  51. function. The Green's function impulse response is then
  52.  
  53. ga(s) = |a|^-1/2 h(-s/a)*    (88)
  54.  
  55. F(a,s) = (ga*f)(s)  (89)
  56.  
  57. Now the * is a convolution in eq. 89 but it is cc in eq. 88. A limit on
  58. text files. The context should make clear which is which.
  59.  
  60. Ga(v) = Int(-+inf)[dt e^i2pivt |a|^-1/2 h(-t/a)*] = |a|^1/2 H(av)*  (90)
  61.  
  62. A window h(t) with compact support in a finite band vmin < v < vmax have
  63. convolutions called "bandpass filters" that pass only frequency components
  64. of the signal in the band.
  65.  
  66. The wavelet transform F(a,s) only depends on those frequency components of
  67. the original signal f(t) in the band vmin/a < v < vmax/a if a > 0, or
  68. vmax/a < v < vmin/a if a < 0.  Thus frequency localizations, unlike the
  69. windowed Fourier transform, is achieved by "dilations" rather than
  70. translations in frequency space. Remember, the wavelet transform still uses
  71. rigid time translations of the window, but it does not use translations in
  72. frequency space.
  73.  
  74. Consider the example of audio signals. We perceive "meaning" (logarithmic
  75. response) frequency ratios rather than simple linear frequency differences.
  76. Hearing an octave difference is achieved by doubling the frequency. We also
  77. "hear" linear frequency differences as "beats"  and there is also a
  78. phenomenon of non-linear "difference tones" (p.46).
  79.  
  80. to be continued.
  81.  
  82.  
  83.  
  84.  
  85.