home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / physics / 22451 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-10  |  6.7 KB  |  188 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!usc!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.iastate.edu!pv343f.vincent.iastate.edu!abian
  3. From: abian@iastate.edu (Alexander Abian)
  4. Subject: TIME HAS INERTIA - GOEDEL's THEOREMS - att: Dr.PRATT, Mc CULLOUGH
  5. Message-ID: <abian.726695664@pv343f.vincent.iastate.edu>
  6. Sender: news@news.iastate.edu (USENET News System)
  7. Organization: Iowa State University, Ames IA
  8. Date: Sun, 10 Jan 1993 19:54:24 GMT
  9. Lines: 177
  10.  
  11. Summary:  Completeness and two Incomplteness Theorems of Goedel
  12. Keywords: 
  13.  
  14. TIME HAS INERTIA
  15.  
  16. STRICTLY FOR DEVOTED READERS OF:  TIME HAS INERTIA
  17.  
  18. ON GOEDEL's THEOREMS:            att:  Dr. PRATT  and  Mc CULLOUGH
  19.  
  20.  
  21.     In our attempt to model THE PLANET EARTH  we construct GLOBES that
  22. can be bought, say, in bookstores.
  23.  
  24.         Question 1.   DOES A GLOBE CONSTRUCTED ON THE PLANET EARTH AND 
  25.                       LOCATED, say, ON THE NORTH POLE OF THE PLANET
  26.                       EARTH, MODEL THE  PLANET EARTH ?
  27.  
  28.     This is essentially the central question involved in Goedel's INCOMPLETE-
  29. NESS  theorem.
  30.  
  31.         The  answer is  NO !
  32.  
  33.     PROOF.  Assume on the contrary that the Globe that we constructed and
  34. located on the North Pole of the Earth models the Earth.  Then our planet
  35. Earth now has a Globe on its North Pole,  whereas our Globe does not have
  36. a Globe on its North Pole.  Thus, our Globe does not model our Planet
  37. Earth. But this contradicts our assumption.  Thus, our constructed Globe
  38. which is located on the planet Earth does not model the planet Earth.
  39.     
  40.     Hence, our answer "NO"  is proved.
  41.  
  42.      Note that locating the Globe on the North pole is not essential. 
  43.      Analogous proof can be given no matter where ON THE PLANET EARTH
  44.      the Globe is located.
  45.  
  46.      Note also that in the above example it is not essential that the Globe 
  47.      is necessarily constructed on the planet Earth.
  48.    
  49.   The essential implication of the above Proof is:
  50.  
  51.  
  52.   (G2)    A  MODEL OF  THE PLANET EARTH SYSTEM CANNOT BE PROVED TO
  53.           EXIST ON THE EARTH SYSTEM ITSELF       
  54.  
  55.    
  56.          Question 2.  DOES A GLOBE OF PLANET EARTH, CONSTRUCTED AND
  57.                       LOCATED ON THE MOON, MODEL THE PLANET EARTH ?
  58.       
  59.  
  60.          The answer is:  YES !
  61.         
  62.          PROOF.  The construction of the Globe on the Moon and its
  63. locating on the Moon does not alter the Earth.  So it does model the
  64. Earth.          
  65.          
  66.          The essential implication of the above proof is:
  67.      
  68.         
  69.   (E2)    A MODEL OF THE PLANET EARTH SYSTEM CAN BE PROVED TO
  70.           EXISTS ON A MORE POWERFUL EXTENDED  EARTH-MOON SYSTEM
  71.  
  72.  
  73. (There are some crackpots who in contradistinction to (G2) claim that
  74.  locating  Globe 1 on the North pole of the Earth, then locating 
  75.  Globe 2 on the North pole of Globe 1, then locating Globe 3 on the
  76.          North pole of Globe 2, then locating Globe 4 on the North pole of
  77.  Globe 3  AND SO ON ... allows the construction of a Model of the system
  78.  on the system itself.  Indeed, these crackpots claim that everyone of 
  79.  the Globes 1, 2, 3, 4, ...  does model the system.  Of course, the
  80.  Professional Guardians of Logic disagree with these crackpots because
  81.  the usage of the words AND SO ON). 
  82.  
  83.       The (G2) statement above is the heart, the emotional fiber,
  84.  the romantisized, subconsciously powerful and profound version of
  85.  the OFFICIAL AND FORMAL GOEDEL'S SECOND INCOMPLETENESS THEOREM
  86.  which I will mention shortly.  
  87.  
  88.       First, however, let me mention that by Goedel's CMPLETENESS
  89. Theorem:  
  90.       THE CONSISTENCY OF THE FORMAL FIRST ORDER THEORIES AND
  91.       THE EXISTENCE OF MODELS FOR THEM are equivalent statements, 
  92.  
  93. i.e.,in a crackpotish way, we can say:
  94.           
  95.    (C1)   A system of statements is consistent if and only if
  96.           there exists a model for that system  
  97.  
  98. a more crackpotish way, is to say:
  99.    
  100.    (C1)    Consistency is the same thing as having models
  101.  
  102. where, of course a system of statements is called consistent if no
  103. statement and its negation are both  derivable from the system
  104. (all this in reference to FIRST ORDER THEORIES -consult any
  105. graduate MATH LOGIC or MODEL theoretic textbook- there are
  106. dozens of them)
  107.  
  108.    Now, the OFFICIAL, FORMAL Statement  of Goedel's Second
  109. Incompleteness Theorem (the emotional version of which I gave
  110. in (G2) above)  is:
  111.  
  112.  (GOEDEL 2)  Let  S  be a formal first order system whose axioms are
  113.              given by some recursive rule. If  S  is consistent and
  114.              the partial recursive functions can be embedded in S, then
  115.              consistency of  S  (i.e., con S) cannot be proved in  S.
  116.  
  117.  
  118.     Now, what is Goedel's First Incompleteness Theorem?
  119.  
  120.    The emotional, romantisized, subconsciously powerful and deep
  121. version of Goedel's First Incompleteness theorem is:
  122.  
  123.      (G1)  THERE EXISTS NO INFINITE MODEL THAT CANNOT BE EXTENDED
  124.            TO A LARGER MODEL MODELING OBJECTS THAT COULD NOT
  125.            BE MODELED IN THE ORIGINAL MODEL.   
  126.  
  127.     For instance if the objects of a model are all finite subsets of
  128. integers, we may extend it in variety of ways by various infinite 
  129. subsets of integers.
  130.  
  131.     The Formal statement of (G1) is:
  132.  
  133.  (Goedel 1)  Let  S  be a formal first order system whose axioms are 
  134.              given by some recursive rule. If  S  is consistent and the 
  135.              partial recursive functions can be embedded in  S  then 
  136.              there exists an UNDECIDABLE statement p  such that neither  
  137.              p  nor its negation  -p (not  p) can be proved from the 
  138.              axioms of  S.
  139.   
  140.  (for this Formal statement consult any graduate text of  Math Logic
  141.   or Model Theory)
  142.  
  143.        Clearly, (Goedel 2)  is a special case of (Goedel 1) where  p
  144. can be taken  as "con S".
  145.  
  146.         Thus,  any formal  system such as  S  will always have an unde-
  147. cidable statement, a fact that shattered into pieces, smashed and
  148. delivered the death blow to  Hilbert's program of trying to prove the
  149. consistency of systems such as  S  (or more powerful than S) by finit-
  150. istic methods.
  151.  
  152.        
  153.        I am exhausted and it is time to listen to Chopin's 24 th etude
  154. in  C  minor.  I think I mistyped in my last nights posting by typing
  155. Chopin's 24 th etude in A minor, I meant Chopin's 23 rd etude in A minor.  
  156.  
  157.        This morning I had 12 e-mail messages.  As I have repeatedly
  158. mentioned, I do not read  my e-mail messages and all the 12 e-mail 
  159. messages were deleted.  
  160.        
  161.        Please communicate with me  EXCLUSIVELY   via  sci.physics 
  162.        
  163.        Subject; TIME HAS INERTIA.
  164.   
  165.       With love,                       Alexander Abian
  166.  
  167.  
  168.  
  169.  
  170.  
  171.  
  172.  
  173.  
  174.  
  175.  
  176.  
  177.  
  178.  
  179.  
  180.  
  181.  
  182.  
  183. -- 
  184.    The tendency of maintaining the status-quo, Reaction to provocation and
  185.                 The tendency of maintaining again a status-quo.  
  186.     TIME HAS INERTIA  and some energy is lost to move Time forward  
  187.   E = mcc  (Einstein)    must be replaced by    E = m(0) exp(-At) (Abian)
  188.