home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / physics / 22421 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-09  |  4.2 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:22421 alt.sci.physics.new-theories:2721
  2. Newsgroups: sci.physics,alt.sci.physics.new-theories
  3. Path: sparky!uunet!well!sarfatti
  4. From: sarfatti@well.sf.ca.us (Jack Sarfatti)
  5. Subject: Wavelets, squeezed states 7 Reproducing Kernels
  6. Message-ID: <C0MC1o.A5E@well.sf.ca.us>
  7. Sender: news@well.sf.ca.us
  8. Organization: Whole Earth 'Lectronic Link
  9. Date: Sun, 10 Jan 1993 03:22:35 GMT
  10. Lines: 126
  11.  
  12.  
  13. 7. Reproducing Kernels
  14. Nothing here is original it's all G Kaiser's stuff.
  15.  
  16. K(m,m') is called a "reproducing kernel". M is an arbitrary set. A set of
  17. functions g(m) on M forms a Hilbert space F under some inner product <|>.
  18. The exact form of the inner product does not matter.
  19.  
  20. Let K(m,m') be complex-valued on MxM such that
  21.  
  22. (42) for every m in M, Km(m') = K(m',m) in F.
  23.  
  24. (43) for every m in M and every g in F
  25.  
  26. g(m) = <K(m,m)|g> = <Km|g>    (p.30)
  27.  
  28. then F is a reproducing-kernel Hilbert space and K(m,m') is its reproducing
  29. kernel.
  30.  
  31. K(m',m) = <K(m',m')|K(m,m)> = <Km'|Km>   (44)
  32.  
  33. K(m,m')* = K(m',m>     (45)
  34.  
  35. K(m,m) = |Km|^2 >= 0   all m  (46)
  36.  
  37. |K(m,m')| <= |Km||Km'|    (47)  Schwartz inequality
  38.  
  39. The kernel function K itself virtually generates the whole structure. All
  40. the functions in F inherit the boundedness and growth properties of K. If K
  41. has singularities, then some functions in F have those singularities.
  42.  
  43. *If M is a classical phase space, F is the corresponding Hilbert space of
  44. the quantum system and |g(m)|^2 is the probability density in the quantum
  45. state g of finding the system in the classical state m.
  46.  
  47. This assertion seems rather important!
  48.  
  49. *Basic idea of coherent and squeezed states:
  50. The quantum state which maximizes the probability density of being in the
  51. classical state mo is modulo over all phase gmo. That is, gmo is a quantum
  52. wave packet which is optimally localized at the classical state (i.e.,
  53. point) in phase space.
  54.  
  55.  
  56. *Contact of this stuff to new quantum computer hardware? (half-baked
  57. Sarfatti speculation or poetic precognition channeled from Q as in Star
  58. Trek The Next Generation)
  59.  
  60. Sarfatti problem: How do we use this for fermions? Need anticommuting
  61. Grassmann variables?  What does classical state mean for fermions? Is this
  62. stuff only good for boson? What about fractional or para-statistics or
  63. anyons as in 2-d solid state (quantum wells) fractional Hall effect? What
  64. about quantum dots?
  65.  
  66. The reproducing kernel embodies the entire Hilbert space. Properties of K
  67. are imaged in properties of g in F.
  68.  
  69. Given Hilbert space F whose elements are all functions on M, how do we know
  70. whether F has a reproducing kernel K?  A necessary conditiion is
  71.  
  72. |f(m)| = |<Km|f>| <= |Km||f| , all f in F and all m in M (48)
  73.  
  74. For fixed m, there is an "evaluation map" Em of Hilbert space F to complex
  75. plane C defined by
  76.  
  77. Em(f) = f(m)  (49)
  78.  
  79. is a bounded linear functional on F.
  80.  
  81. Riesz representation theorem implies
  82.  
  83. E(f) = <e|f>  (50)
  84.  
  85. for unique vector e in F. There exists a unique em such that
  86.  
  87. f(m) = <em|f>  (51)     (p.32)
  88.  
  89. But f(m) = <Km|f>, therefore
  90.  
  91. em = Km = K(m,m)  (52)
  92.  
  93. also
  94.  
  95. K(m,m') = <em|em'>  (53)
  96.  
  97. F has a reproducing Kernel if and only if all the evaluation maps are
  98. bounded.
  99.  
  100. In applications M has more structure. M can be a Lie group G. M can be a
  101. "homogeneous space" of Lie group G in which each g in G acts on homogeneous
  102. space M as an invertible transformation preserving all other structure of M
  103. like continuity or differentiability. These actions form the Lie group G.
  104.  
  105. Right action is
  106.  
  107. m -> mg  (54)
  108.  
  109. Tg:F -> F   (55)
  110.  
  111. (Tgf)(m) = f(mg)   (56)
  112.  
  113. is a "representation" of G on F, since
  114.  
  115. TgTg' = Tgg'     (57)
  116.  
  117. But f(m) = <Km|f> implies
  118.  
  119. Kmg = Tg*Km   (58)
  120.  
  121. therefore
  122.  
  123. K(m'g,mg) = <Km'g|Kmg> = <Km'|TgTg*|Km>   (59)
  124.  
  125. *Therefore, the reproducing kernel K is invariant under the action of G if
  126. and only if all the operators Tg are unitary, i.e. the representation g->Tg
  127. is unitary.
  128.  
  129. Sarfatti problem. In standard quantum mechanics (SQM) what is the group G
  130. under which K is invariant in order that locally observable probabilities
  131. (for the complete set of alternatives for part of an entangled nonlocal
  132. whole) add up to 1? What if G is mutable? Suppose we go to a sub-group H?
  133. Suppose G is a sub-group of some super-Group? Is this pointing not only to
  134. something meaningful - but something profound about the relative nature of
  135. probability in quantum mechanics?
  136.  
  137. to be continued
  138.