home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 18057 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-12  |  2.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!julienas!corton!geocub!alioth!cohen
  2. From: cohen@alioth.greco-prog.fr (Henri Cohen)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Euclidean Domain
  5. Message-ID: <1993Jan12.095311.16393@greco-prog.fr>
  6. Date: 12 Jan 93 09:53:11 GMT
  7. References: <1993Jan8.211440.374@ncar.ucar.edu> <Jan.10.09.44.57.1993.15296@dimacs.rutgers.edu>
  8. Sender: usenet@greco-prog.fr (le facteur fnet)
  9. Reply-To: cohen@alioth.greco-prog.fr (Henri Cohen)
  10. Organization: ceremab
  11. Lines: 47
  12.  
  13. In article <Jan.10.09.44.57.1993.15296@dimacs.rutgers.edu>,
  14. bumby@dimacs.rutgers.edu (Richard Bumby) writes:
  15. |> steele@isis.cgd.ucar.edu (Alfred Steele) writes:
  16. |> 
  17. |> 
  18. |> >In article <HAMMOND.93Jan3134111@annemarie.albany.edu>,
  19. hammond@csc.albany.edu (
  20. |> >William F. Hammond) writes:
  21. |> >|> In article <Jan.3.02.05.44.1993.24643@spade.rutgers.edu>
  22. |> >|>    cadet@spade.rutgers.edu (Uniquely TiJean) writes:
  23. |> >[....]
  24. |> 
  25. |> >|>If someone can answer the question:
  26. |> >|>Why there are not other candidates for the Euclidean function?
  27. |> 
  28. |> >I have asked the very same question and do not know the answer....
  29. |> >Any information netters know about this, I would be interested in hearing
  30. |> >about.  What is the "folklore" on the subject?
  31. |> 
  32. |> This should be a FAQ.  T. S. Motzkin, "The Euclidean Algorithm", Bull.
  33. |> Amer. Math. Soc. 55(1949), 1142-1146, gave a simple analysis of the
  34. |> properties of any Euclidean Algorithm in an integral domain.  The idea
  35. |> is to work backwards, starting with the set consisting only of zero,
  36. |> and applying the following construction.  The derived set of a set, S,
  37. |> consists of all elements of the domain which have a complete set of
  38. |> residues in S.  This construction may be extended transfinitely if
  39. |> necessary by taking unions at limit ordinals.  In order to have a
  40. |> Euclidean Algorithm, you must be able to exhaust the domain in this
  41. |> way.  For quadratic number rings, there are only finitely many units.
  42.  
  43. Of course this is only for IMAGINARY quadratic number rings.
  44.  
  45. |> Another major article on Euclidean Algorithms is P. Samuel, "About
  46. |> Euclidean Rings", J. Algebra 19 (1971), 282-301.  It would appear that
  47. |> the next major exposition is due this year.
  48. |> -- 
  49. |> R. T. Bumby **  Rutgers Math ||   Amer. Math. Monthly Problems Editor
  50. |> bumby@math.rutgers.edu       || P.O. Box 10971 New Brunswick, NJ08906-0971
  51. |> bumby@dimacs.rutgers.edu     || Phone: [USA] 908 932 0277 * FAX 908 932 5530
  52.  
  53. A result which I believe is due to H. W. Lenstra is that under the Generalized
  54. Riemann Hypothesis, ALL number fields with class number 1 (i.e. with unique
  55. factorization) are Euclidean for SOME Euclidean algorithm (of course usually
  56. not the one given by the norm), EXCEPT those which have finitely many units,
  57. in other words imaginary quadratic fields.
  58.  
  59.     Henri Cohen
  60.