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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 18022 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-06  |  1.7 KB
  1. Xref: sparky sci.math:18022 rec.puzzles:8339
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!howland.reston.ans.net!paladin.american.edu!gatech!rutgers!igor.rutgers.edu!remus.rutgers.edu!clong
  3. From: clong@remus.rutgers.edu (Chris Long)
  4. Newsgroups: sci.math,rec.puzzles
  5. Subject: Re: HELP: limit (SPOILER)
  6. Message-ID: <Jan.12.04.30.20.1993.8013@remus.rutgers.edu>
  7. Date: 12 Jan 93 09:30:21 GMT
  8. References: <C0pAC9.CtH@news.cso.uiuc.edu>
  9. Followup-To: sci.math
  10. Organization: Rutgers Univ., New Brunswick, N.J.
  11. Lines: 34
  12.  
  13.  
  14. A correction:
  15.  
  16. In article <C0pAC9.CtH@news.cso.uiuc.edu>, Jon Hamkins writes:
  17.  
  18. >               k+q  
  19. >               ---    i
  20. >           -k  \     k
  21. >  lim     e    /   -----  ,
  22. > k->infty      ---   i!
  23. >               i=0
  24.  
  25. > where q is a positive integer constant.
  26.  
  27. The limit is 1/2.  Using the fact that P = \lim_{k \to \infnty}
  28. \sum_{i=0}^{k} k^i/i! ~ 1/2*e^{k} (*), we see that limit =
  29. \lim_{k \to \infnty} e^{-k}*(P + \sum_{i=k+1}^{k+q} k^i/i!) =
  30. \lim_{k \to \infnty} e^{-k}*P +
  31. \lim_{k \to \infnty} e^{-k}*\sum_{i=k+1}^{k+q} k^i/i!).  The first
  32. term is easily seen to go to 1/2 by (*), and the last term is seen
  33. to be 0 by the fact that e^{-k}*k^{k+c}/{k+c}! ~
  34. e^{-k}*e^{k+c}*(1-c/(k+c))^{k+c}/sqrt(2*pi*(k+c)) ~ 1/sqrt(2*pi*(k+c)),
  35. where ~ is used throughout in the asymptotic sense.
  36.  
  37. (*) This is proven in Newman's _A Problem Seminar_.  I can't seem
  38. to find my copy of it to verify that it's there, but my memory
  39. is pretty good about things like this.
  40.  
  41. Challenge:  For what finite constant c does \sum_{i=0}^{p*k} k^i/i!
  42. ~ c*e^{k} as k \to \infnty?
  43. -- 
  44. Chris Long, 265 Old York Rd., Bridgewater, NJ 08807-2618
  45.  
  46. Score: 0, Diff: 1, clong killed by a Harvard Math Team on  1
  47.