home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17991 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-11  |  2.5 KB  |  55 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!europa.asd.contel.com!paladin.american.edu!howland.reston.ans.net!spool.mu.edu!enterpoop.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  3. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  4. Subject: Re: wanted: diff. criterium for pureness of tensors.
  5. Message-ID: <1993Jan11.203344.11891@galois.mit.edu>
  6. Sender: news@galois.mit.edu
  7. Nntp-Posting-Host: riesz
  8. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  9. References: <1993Jan11.115730.42655@urz.unibas.ch>
  10. Date: Mon, 11 Jan 93 20:33:44 GMT
  11. Lines: 42
  12.  
  13. In article <1993Jan11.115730.42655@urz.unibas.ch> kullmann@urz.unibas.ch (Peter Kullmann) writes:
  14. >
  15. >Is there a differentiable criterium for the pureness *) of tensors in the 
  16. >outer tensor algebra over a real vector space? I.e. a function 
  17. > 
  18. > f:Alt(k,V) ---> R differentiable
  19. >
  20. >such that if s \in Alt(k,V): f(s) = 0 iff s is pure.
  21. >
  22. >This has of course to do with Grassmanians, and what I actually want is to
  23. >have Grassmann (n,k) as a level surface in Alt(k,R^n). I doubt it very much
  24. >that this is possible, so an argument for the contrary would be welcomed as
  25. >well:-)
  26.  
  27. Such a function exists in the complex case (vector spaces over
  28. the complex numbers) - I don't know if you are asking the real case to
  29. be deliberately difficult, and I don't know if the real case is actually
  30. harder, but I'll tell you how to do it for the complex case - from some
  31. lecture notes by Guillemin.
  32.  
  33. What you call pure tensors he calls "decomposable."  Pick a basis e_i
  34. for V and the dual basis e^i for V*, and let e^I for any multiindex I =
  35. (i_1,...,i_k) be the exterior (or wedge, or outer) product e^{i_1} x ...
  36. x e^{i_k}; here I'm using x for exterior product.  Then s is
  37. decomposable iff for all I, iota(e^I)s x s = 0.  Here iota(v)s is the
  38. interior product of v (in the exterior algebra over V*) and s (in the
  39. exterior algebra over V).  
  40.  
  41. The conditions iota(e^I)s x s = 0 are a bunch of quadratic equations in
  42. the components of s.  So we have found a *bunch* of functions that *all*
  43. vanish precisely on the decomposable tensors.  If you really need *one*
  44. function that vanishes precisely on the decomposable tensors, take all
  45. these functions, take the squares of their absolute values, and add them
  46. up.
  47.  
  48. Feel free to ask if some of the above doesn't make sense.  In
  49. particular, the interior product of something in the exterior algebra
  50. over V* with something in the exterior algebra over V is a notion that's
  51. not very commonly used, though it's an obvious generalization of the
  52. interior product of something in V* with something in the exterior
  53. algebra over V.    
  54.  
  55.