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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17976 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-11  |  3.2 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17976 sci.logic:2569
  2. Newsgroups: sci.math,sci.logic
  3. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!cs.utexas.edu!qt.cs.utexas.edu!yale.edu!spool.mu.edu!enterpoop.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  4. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  5. Subject: Re: Frankly,my dear......was: Fermat's Last Theorem
  6. Message-ID: <1993Jan11.180310.11037@galois.mit.edu>
  7. Sender: news@galois.mit.edu
  8. Nntp-Posting-Host: riesz
  9. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  10. References: <1993Jan7.021308.10566@nuscc.nus.sg> <1993Jan7.054017.25511@leland.Stanford.EDU> <1ilihlINN6ke@shelley.u.washington.edu>
  11. Distribution: usa
  12. Date: Mon, 11 Jan 93 18:03:10 GMT
  13. Lines: 46
  14.  
  15. In article <1ilihlINN6ke@shelley.u.washington.edu> petry@zermelo.math.washington.edu (David Petry) writes:
  16. Ilan Vardi writes:
  17. >While it is true that no one can explain why Fermat's Last theorem has to 
  18. >be true, there are very convincing heuristics arguments that it really 
  19. >ought to be true.  Briefly, for a given large exponent p, the set of
  20. >numbers which are perfect p'th powers is a very sparse set of numbers,
  21. >and the probability that some number from such a set is the sum of two
  22. >others from the set is very small.
  23. >
  24. >> This is a natural phenomenon that should be explained. 
  25. >
  26. >Actually, it's questionable whether it should be called a phenomenon
  27. >at all.  Usually we think of a "phenomenon" as something that occurs
  28. >which is improbable (don't we?).  Fermat's Last theorem is far from 
  29. >being improbable.
  30.  
  31. Of course the notion of "probability" here is even more murky than
  32. usual.  One is approximating a deterministic system by a stochastic one
  33. and hoping that one is not neglecting any important patterns.  
  34.  
  35. But I tend to agree with Petry.  My friend Bruce Smith has proposed that
  36. there should be large classes of conjectures which are "probably true"
  37. by simple heuristic arguments, but are not provable.  I keep hoping that
  38. some good logician will construct a natural example of the following.
  39. A sequence P_n of number-theoretic statements such that 1) all the P_n
  40. are "true with probability 1" by some heuristic argument, 2) one can
  41. prove (using your favorite axioms) that all but finitely many P_n *are*
  42. true, but 3) any consistent r.e. extension of Peano arithmetic can only
  43. prove finitely many P_n are true.  In other words, the P_n are almost
  44. certainly true, but "only for statistical reasons"; there is no good
  45. reason for any one to be true other than that it'd be an amazing
  46. coincidence if it were false.  Feel free to modifsy the problem a bit,
  47. but the key word is NATURAL; I don't want example that are cooked up by
  48. Goedelian encoding-type tricks, I want examples that sound a lot like
  49. the weak Goldbach's conjecture [all sufficiently large even numbers
  50. are the sum of two primes].  Note that Fermat's last theorem is not
  51. true with probability 1, but only with probability equal to some number
  52. very close to 1, while the weak Goldbach conjecture is true with
  53. probability 1 (according to a naive heuristic argument).  
  54.  
  55. Bruce Smith has also suggested that the 4-color theorem only admits long
  56. proofs, because it is not true for any "good reason," but it admits many
  57. equally good long proofs, because the only way to see it is to rule out
  58. a large finite set (a "spanning" set) of things that might go wrong.
  59.  
  60.  
  61.