home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17951 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-10  |  7.1 KB  |  190 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!darwin.sura.net!jvnc.net!newsserver.jvnc.net!newsserver.technet.sg!nuscc!matmcinn
  3. From: matmcinn@nuscc.nus.sg (brett mcinnes)
  4. Subject: Re: TIME HAS INERTIA - GOEDEL's THEOREMS - att: Dr.PRATT, Mc CULLOUGH
  5. Message-ID: <1993Jan11.040116.19366@nuscc.nus.sg>
  6. Organization: National University of Singapore
  7. X-Newsreader: Tin 1.1 PL4
  8. References: <abian.726695664@pv343f.vincent.iastate.edu>
  9. Date: Mon, 11 Jan 1993 04:01:16 GMT
  10. Lines: 178
  11.  
  12. abian@iastate.edu (Alexander Abian) writes:
  13. : Summary:  Completeness and two Incomplteness Theorems of Goedel
  14. : Keywords: 
  15. : 
  16. : TIME HAS INERTIA
  17. : 
  18. : STRICTLY FOR DEVOTED READERS OF:  TIME HAS INERTIA
  19. : 
  20. : ON GOEDEL's THEOREMS:            att:  Dr. PRATT  and  Mc CULLOUGH
  21. : 
  22. : 
  23. :     In our attempt to model THE PLANET EARTH  we construct GLOBES that
  24. : can be bought, say, in bookstores.
  25. : 
  26. :         Question 1.   DOES A GLOBE CONSTRUCTED ON THE PLANET EARTH AND 
  27. :                       LOCATED, say, ON THE NORTH POLE OF THE PLANET
  28. :                       EARTH, MODEL THE  PLANET EARTH ?
  29. : 
  30. :     This is essentially the central question involved in Goedel's INCOMPLETE-
  31. : NESS  theorem.
  32. : 
  33. :         The  answer is  NO !
  34. : 
  35. :     PROOF.  Assume on the contrary that the Globe that we constructed and
  36. : located on the North Pole of the Earth models the Earth.  Then our planet
  37. : Earth now has a Globe on its North Pole,  whereas our Globe does not have
  38. : a Globe on its North Pole.  Thus, our Globe does not model our Planet
  39. : Earth. But this contradicts our assumption.  Thus, our constructed Globe
  40. : which is located on the planet Earth does not model the planet Earth.
  41. :     
  42. :     Hence, our answer "NO"  is proved.
  43. : 
  44. :      Note that locating the Globe on the North pole is not essential. 
  45. :      Analogous proof can be given no matter where ON THE PLANET EARTH
  46. :      the Globe is located.
  47. : 
  48. :      Note also that in the above example it is not essential that the Globe 
  49. :      is necessarily constructed on the planet Earth.
  50. :    
  51. :   The essential implication of the above Proof is:
  52. : 
  53. : 
  54. :   (G2)    A  MODEL OF  THE PLANET EARTH SYSTEM CANNOT BE PROVED TO
  55. :           EXIST ON THE EARTH SYSTEM ITSELF       
  56. : 
  57. :    
  58. :          Question 2.  DOES A GLOBE OF PLANET EARTH, CONSTRUCTED AND
  59. :                       LOCATED ON THE MOON, MODEL THE PLANET EARTH ?
  60. :       
  61. : 
  62. :          The answer is:  YES !
  63. :         
  64. :          PROOF.  The construction of the Globe on the Moon and its
  65. : locating on the Moon does not alter the Earth.  So it does model the
  66. : Earth.          
  67. :          
  68. :          The essential implication of the above proof is:
  69. :      
  70. :         
  71. :   (E2)    A MODEL OF THE PLANET EARTH SYSTEM CAN BE PROVED TO
  72. :           EXISTS ON A MORE POWERFUL EXTENDED  EARTH-MOON SYSTEM
  73. : 
  74. : 
  75. : (There are some crackpots who in contradistinction to (G2) claim that
  76. :  locating  Globe 1 on the North pole of the Earth, then locating 
  77. :  Globe 2 on the North pole of Globe 1, then locating Globe 3 on the
  78. :          North pole of Globe 2, then locating Globe 4 on the North pole of
  79. :  Globe 3  AND SO ON ... allows the construction of a Model of the system
  80. :  on the system itself.  Indeed, these crackpots claim that everyone of 
  81. :  the Globes 1, 2, 3, 4, ...  does model the system.  Of course, the
  82. :  Professional Guardians of Logic disagree with these crackpots because
  83. :  the usage of the words AND SO ON). 
  84. : 
  85. :       The (G2) statement above is the heart, the emotional fiber,
  86. :  the romantisized, subconsciously powerful and profound version of
  87. :  the OFFICIAL AND FORMAL GOEDEL'S SECOND INCOMPLETENESS THEOREM
  88. :  which I will mention shortly.  
  89. : 
  90. :       First, however, let me mention that by Goedel's CMPLETENESS
  91. : Theorem:  
  92. :       THE CONSISTENCY OF THE FORMAL FIRST ORDER THEORIES AND
  93. :       THE EXISTENCE OF MODELS FOR THEM are equivalent statements, 
  94. : 
  95. : i.e.,in a crackpotish way, we can say:
  96. :           
  97. :    (C1)   A system of statements is consistent if and only if
  98. :           there exists a model for that system  
  99. : 
  100. : a more crackpotish way, is to say:
  101. :    
  102. :    (C1)    Consistency is the same thing as having models
  103. : 
  104. : where, of course a system of statements is called consistent if no
  105. : statement and its negation are both  derivable from the system
  106. : (all this in reference to FIRST ORDER THEORIES -consult any
  107. : graduate MATH LOGIC or MODEL theoretic textbook- there are
  108. : dozens of them)
  109. :  
  110. :    Now, the OFFICIAL, FORMAL Statement  of Goedel's Second
  111. : Incompleteness Theorem (the emotional version of which I gave
  112. : in (G2) above)  is:
  113. : 
  114. :  (GOEDEL 2)  Let  S  be a formal first order system whose axioms are
  115. :              given by some recursive rule. If  S  is consistent and
  116. :              the partial recursive functions can be embedded in S, then
  117. :              consistency of  S  (i.e., con S) cannot be proved in  S.
  118. : 
  119. : 
  120. :     Now, what is Goedel's First Incompleteness Theorem?
  121. : 
  122. :    The emotional, romantisized, subconsciously powerful and deep
  123. : version of Goedel's First Incompleteness theorem is:
  124. : 
  125. :      (G1)  THERE EXISTS NO INFINITE MODEL THAT CANNOT BE EXTENDED
  126. :            TO A LARGER MODEL MODELING OBJECTS THAT COULD NOT
  127. :            BE MODELED IN THE ORIGINAL MODEL.   
  128. : 
  129. :     For instance if the objects of a model are all finite subsets of
  130. : integers, we may extend it in variety of ways by various infinite 
  131. : subsets of integers.
  132. : 
  133. :     The Formal statement of (G1) is:
  134. : 
  135. :  (Goedel 1)  Let  S  be a formal first order system whose axioms are 
  136. :              given by some recursive rule. If  S  is consistent and the 
  137. :              partial recursive functions can be embedded in  S  then 
  138. :              there exists an UNDECIDABLE statement p  such that neither  
  139. :              p  nor its negation  -p (not  p) can be proved from the 
  140. :              axioms of  S.
  141. :   
  142. :  (for this Formal statement consult any graduate text of  Math Logic
  143. :   or Model Theory)
  144. : 
  145. :        Clearly, (Goedel 2)  is a special case of (Goedel 1) where  p
  146. : can be taken  as "con S".
  147. : 
  148. :         Thus,  any formal  system such as  S  will always have an unde-
  149. : cidable statement, a fact that shattered into pieces, smashed and
  150. : delivered the death blow to  Hilbert's program of trying to prove the
  151. : consistency of systems such as  S  (or more powerful than S) by finit-
  152. : istic methods.
  153. :  
  154. :        
  155. :        I am exhausted and it is time to listen to Chopin's 24 th etude
  156. : in  C  minor.  I think I mistyped in my last nights posting by typing
  157. : Chopin's 24 th etude in A minor, I meant Chopin's 23 rd etude in A minor.  
  158. : 
  159. :        This morning I had 12 e-mail messages.  As I have repeatedly
  160. : mentioned, I do not read  my e-mail messages and all the 12 e-mail 
  161. : messages were deleted.  
  162. :        
  163. :        Please communicate with me  EXCLUSIVELY   via  sci.physics 
  164. :        
  165. :        Subject; TIME HAS INERTIA.
  166. :   
  167. :       With love,                       Alexander Abian
  168. : 
  169. : 
  170. : 
  171. : 
  172. : 
  173. : 
  174. : 
  175. : 
  176. : 
  177. : 
  178. : 
  179. : 
  180. : 
  181. : 
  182. : 
  183. : 
  184. : 
  185. : -- 
  186. :    The tendency of maintaining the status-quo, Reaction to provocation and
  187. :                 The tendency of maintaining again a status-quo.  
  188. :     TIME HAS INERTIA  and some energy is lost to move Time forward  
  189. :   E = mcc  (Einstein)    must be replaced by    E = m(0) exp(-At) (Abian)
  190.