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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17947 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-10  |  1.9 KB  |  44 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!spool.mu.edu!howland.reston.ans.net!zaphod.mps.ohio-state.edu!pacific.mps.ohio-state.edu!linac!att!princeton!fine.princeton.edu!tao
  3. From: tao@fine.princeton.edu (Terry Tao)
  4. Subject: Re: proof wanted 2
  5. Message-ID: <1993Jan11.030012.26208@Princeton.EDU>
  6. Originator: news@nimaster
  7. Sender: news@Princeton.EDU (USENET News System)
  8. Nntp-Posting-Host: math.princeton.edu
  9. Organization: Princeton University
  10. References: <1993Jan10.172353.13507@infodev.cam.ac.uk> <ARA.93Jan10172314@camelot.ai.mit.edu> <1iqcp7INNoph@skeena.ucs.ubc.ca>
  11. Date: Mon, 11 Jan 1993 03:00:12 GMT
  12. Lines: 30
  13.  
  14. In article <1iqcp7INNoph@skeena.ucs.ubc.ca> liuli@unixg.ubc.ca (Li Liu) writes:
  15. >In article <ARA.93Jan10172314@camelot.ai.mit.edu> ara@zurich.ai.mit.edu (Allan Adler) writes:
  16. >>
  17. >>
  18. >>True or false: A metric space (X,d) is locally compact if and only if
  19. >>for every point p of X and every closed subset Y of X, there is a
  20. >>point q of Y such that d(p,q) = inf {d(p,r) | r in Y}.
  21. >>
  22. >
  23. >False. Compactness will imply that a nearest point exists. The other
  24. >way around is not generally true. Consider the space R^2, let a closed
  25. >set C = { (x,y) | x=0} . Consider an outside point P= (1,0). Then
  26. >inf{ d(P,C) } =1, with (0,0) reaching the inf.
  27. >
  28. >In this case C is not compact. 
  29. >
  30.  
  31. No, what Allan is asking is that if there is a nearest point for EVERY P
  32. and EVERY closed C not containing P, then R^2 must be locally compact.
  33. Read the question carefully!.  In this case, R^2 is of course locally
  34. compact.
  35.  
  36. I'd hazard that the statement is true, but I have no proof.  A way to start
  37. would be to imply from the second property that every sequence has a
  38. convergent subsequence or a point of least distance to a specified point x.  Why?  Let S be the set of points in the bounded
  39. sequence, the closure of S contains a point of least distance, either this
  40. point is in S or is a limit point of S, hence the claim.  But I have no
  41. idea where to go from here.
  42.  
  43. Terry
  44.