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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17938 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-10  |  2.4 KB  |  93 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!cs.utexas.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!cis.ohio-state.edu!news.sei.cmu.edu!bb3.andrew.cmu.edu!crabapple.srv.cs.cmu.edu!sundar
  3. From: sundar+@cs.cmu.edu (Sundar Vallinayagam)
  4. Subject: Re: A simple (?) integral
  5. Message-ID: <C0np1t.J65.1@cs.cmu.edu>
  6. Sender: news@cs.cmu.edu (Usenet News System)
  7. Nntp-Posting-Host: speech1.cs.cmu.edu
  8. Organization: School of Computer Science, Carnegie Mellon
  9. References: <1iojo4INN7b1@usenet.INS.CWRU.Edu>
  10. Date: Sun, 10 Jan 1993 21:01:01 GMT
  11. Lines: 80
  12.  
  13.  
  14. >Considering 1,000,000 minds are better than one, I thought I'd post this
  15. >wonderful problem...
  16. >
  17. >  _    ______
  18. > (    /
  19. > _) `/ tan x   dx
  20. >
  21. >
  22. >Obviously the normal substution t=tan(x/2) won't work since this is no a
  23. >rational function of since and cosine, and integration by parts doesn't
  24. >look too promising...
  25. >
  26. >Mail ranging from insight to a solution, a complete solution, or this is
  27. >not integrable in elementary functions because ________ would be greatly
  28. >appreciated...
  29. >
  30. >Thank you.
  31.  
  32. Couldn't resist replying to this one.  So here goes:
  33.  
  34.        2
  35. Let   t   =  tan x
  36.  
  37.                 2
  38. Then 2t dt = sec x dx
  39.  
  40.                      2
  41.            = (1 + tan x) dx
  42.  
  43.                  4
  44.            = (1+t ) dx
  45.  
  46.                       4
  47. or   dx =    2t / (1+t )  dt
  48.  
  49.                            2        4
  50. Therefore, I = integral  2t / (1 + t )  dt
  51.             
  52.                2         2      2 
  53. Now express  2t  as  (1+t ) + (t -1) and split the integral into two parts
  54. and divide by t^2 throughout.
  55.  
  56. That is:
  57.  
  58.                         2                  2
  59.                    1+1/t              1-1/t
  60.       integral   ----------    +   ------------   dt
  61.                     2     2            2     2
  62.                    t + 1/t            t + 1/t
  63.  
  64.  
  65. Make the substitution  t - 1/t = u for the first term and
  66.  
  67.                        t + 1/t = v for the second term.
  68.  
  69.  
  70. The integral now becomes:
  71.  
  72.  
  73.   
  74.                       du                       dv
  75.       integral   ------------  +  integral -----------
  76.                      2                       2
  77.                     u  + 2                  v  - 2
  78.  
  79.  
  80. Beyond this point, I have absolutely no clue as to how to proceed :-)
  81.  
  82.  
  83. ramli.
  84.  
  85. PS: I first encountered this problem when I was in the 12th grade...
  86.  
  87.  
  88.  
  89. -- 
  90. **************************************************
  91. ramli@orca.ele.uri.edu
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  93.