home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17917 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-10  |  1.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!gatech!destroyer!cs.ubc.ca!unixg.ubc.ca!liuli
  2. From: liuli@unixg.ubc.ca (Li Liu)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: proof wanted 2
  5. Date: 10 Jan 1993 10:53:31 GMT
  6. Organization: University of British Columbia, Vancouver, B.C., Canada
  7. Lines: 32
  8. Message-ID: <1iov7bINNobh@skeena.ucs.ubc.ca>
  9. References: <1993Jan8.195646.1694@cc.umontreal.ca> <1993Jan8.211809.21338@galois.mit.edu>
  10. NNTP-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  11.  
  12. >>Is it true that if  C  is a nonempty closed subset of R  and x is a point not
  13. >>in  C  that there exists a point c in C that is closest in C to x.
  14. >> 
  15. >>i.e. such that:   |x-c'| >= |x-c| for all c' in C.
  16.  
  17. This is not true for general metric spaces. 
  18.  
  19. In a previous followup, I made
  20. a stupid mistake. My example was 
  21. {1/n | n=1,2,...} = "The metric space" = 
  22. C. And x=0. Notice that x is not in the metric space!
  23.  
  24.  
  25. Here is a better example:
  26.  
  27. Let X be the set of all functions on [0,1]. For any two functions f and
  28. g on [0,1], the distance d(f,g) is defined as
  29.  
  30.    d(f,g)= sup{ |f(r)-g(r)|, where r is in [0,1] }.
  31.  
  32. Then <X,d> is a metric space. 
  33.  
  34. Define:
  35.  
  36. f_n( 1/n) = 0.5 + 1/n
  37. f_n( r ) = 0            for all other r in [0,1].
  38.  
  39. Then C={ f_n |n=1,2,3, ...} is a closed set. You can verify that there is no
  40. converging sequence in this set because the distance between every pair
  41. of functions is larger than 0.5  .
  42.  
  43. Take a point f_0 = 0. There is no closet point in C to f_0. 
  44.