home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17894 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-09  |  2.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!psinntp!kepler1!andrew
  2. From: andrew@rentec.com (Andrew Mullhaupt)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Looking for help
  5. Message-ID: <1455@kepler1.rentec.com>
  6. Date: 9 Jan 93 18:25:59 GMT
  7. References: <1993Jan4.140128.20155@choate.edu> <1444@kepler1.rentec.com> <1993Jan8.150941.12619@infodev.cam.ac.uk>
  8. Organization: Renaissance Technologies Corp., Setauket, NY.
  9. Lines: 48
  10.  
  11. In article <1993Jan8.150941.12619@infodev.cam.ac.uk> cet1@cus.cam.ac.uk (C.E. Thompson) writes:
  12. >In article <1444@kepler1.rentec.com>, andrew@rentec.com (Andrew Mullhaupt) writes:
  13. >|> In article <1993Jan4.140128.20155@choate.edu> jburne@spock.uucp (John Burnette)
  14. >|> writes:
  15. >|> >"Give two numbers, x and y, whose sum is rational and whose product is 
  16. >|> >irrational."
  17.  
  18. >|> >x = .10100100010000....
  19. >|> >y = .01011011101111....
  20.  
  21. >|> >Obviously x+y=1/9 (and, please, let's not start that thread again...)
  22. >|> >but I've always been at a lost about x*y.
  23.  
  24. >|> It isn't entirely clear but I suppose that x is a Liouville* number, in
  25. >|> which case it is transcendental.
  26.  
  27. >It wasn't explicitly stated, but I took the chains of zeroes to be increasing
  28. >linearly in size, i.e. x = \sum_{n=1}^{\infty} 10^{-n(n+1)/2}. In which case
  29. >the gaps aren't big enough to make the rational approximations with denominator
  30. >10^{n(n+1)/2} convergents to x, let alone make it a Liouville number.
  31.  
  32. >|> *Or a Thue-Siegel-Roth number, etc.
  33.  
  34. >Same applies.
  35.  
  36. Well if you want to talk about _that_ number life is indeed much more
  37. difficult. As I said, it isn't clear which number was originally given,
  38. so I gave the student the benefit of the doubt. But things can be done
  39. with the number you think x is. As noted in my previous post, the
  40. only way for x * (1/9 - x) to be rational with x irrational is for x to
  41. be a quadratic irrationality. By Euler-Lagrange, the continued fraction
  42. of such x will be periodic. If we put x = sum 10 ^ ((-n^2-n)/2) as you
  43. suggest, we get the continued fraction:
  44.  
  45.     x = [0,9,1,9,11,9,11,90,1,9,1,90,110,9,12,4,1,3,1,4,2,1,4,4,10,
  46.          1,10,9,907,2,1,2,6,3,1,4,1,9...]
  47.  
  48. which does not appear to have a periodicity. We should not expect the
  49. continued fraction of x to be _purely_ periodic, since x < 1, but
  50. eventually periodic.
  51.  
  52. Later,
  53. Andrew Mullhaupt
  54.  
  55. P.S. I think you can get a handle on your number x using the theta
  56. functions, and then known transcendence results (Cf. Baker's 
  57. _Transcendental Number Theory_) may apply, but I don't have time to chase
  58. this down.
  59.