home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17869 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-08  |  3.8 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!howland.reston.ans.net!paladin.american.edu!gatech!destroyer!iunet!hal9k!james.jones
  2. From: james.jones@hal9k.ann-arbor.mi.us (James Jones) 
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Closed forms for sums
  5. Message-ID: <964.165.uupcb@hal9k.ann-arbor.mi.us>
  6. Date: 8 Jan 93 00:36:00 GMT
  7. Distribution: world
  8. Organization: HAL 9000 BBS, W-NET HQ, Ann Arbor, Michigan, USA
  9. Reply-To: james.jones@hal9k.ann-arbor.mi.us (James Jones) 
  10. Lines: 104
  11.  
  12. OB>Subject: sum(i=1 to n, i^3) = ??   URGENT !!
  13.  
  14. While we're on the subject, I was killing some time with Derive, a
  15. Mathematical Assistant one day waiting form my Finite class to begin
  16. and found the closed form for
  17.  
  18.         ---
  19.         \     j
  20.          >   i
  21.         /
  22.         ---
  23.         i=1
  24.  
  25. where j went from 1 to about 12 or 13.  Can't remember exactly where I
  26. stopped at.
  27.  
  28. Noticed some interesting patterns that developed there.
  29.  
  30. Some things I remember:
  31.  
  32. 1.      All closed forms had  n  and  (n + 1)  as a factors.
  33.  
  34.                             2              2
  35. 2.      All odd j > 1 had  n   and  (n + 1)   as a factors.
  36.  
  37.  
  38. 3.      Add even j > 2 had interesting coefficients on the terms in
  39.         the last factor.
  40.         (at least the last factor the way Derive factored it)
  41.  
  42. j = 4
  43.  
  44.                 3      2
  45.   n (n + 1) (6 n  + 9 n  + n - 1) 
  46.  ---------------------------------
  47.                  30               
  48.  
  49. j = 6
  50.  
  51.                5       4      3      2
  52.  n (n + 1) (6 n  + 15 n  + 6 n  - 6 n  - n + 1) 
  53. ------------------------------------------------
  54.                        42                       
  55.  
  56. j = 8
  57.  
  58.                 7       6       5       4       3       2
  59.  n (n + 1) (10 n  + 35 n  + 25 n  - 25 n  - 17 n  + 17 n  + 3 n - 3)
  60. ---------------------------------------------------------------------
  61.                                   90
  62.  
  63. See the pattern?
  64.  
  65. when j = 4, the last pair of coefficients are:
  66.         1,-1
  67. when j = 6, the last two pair of coefficients are:
  68.         6,-6  and  -1,1
  69. when j = 8, the last three pair of coefficients are:
  70.         25,-25  -17,17  and  3,-3
  71.  
  72. not shown, but ...
  73.  
  74. when j = 10, the last four pair of coefficients are:
  75.         28,-28  -38,38  28,-28  and  -5,5
  76. when j = 12, the last five pair of coefficients are:
  77.         1575,-1575  -3430,3430  5150,-5150  -3859,3859  and 691,-691
  78.  
  79. Derive returns all of these in a very short time.  I don't think that
  80. Derive has programmed in all of the closed forms (it may, but I doubt
  81. it), so my question is, how does one go about determining a closed
  82. form for a sum?
  83.  
  84. I plan on having my College Algebra class this spring use derive and
  85. graphing calculators to help with some of the work, but I would like
  86. something I could use as a discovery exercise for them.  Hopefully
  87. something to do with discovering closed forms.  Mathematical Induction
  88. always gives the College Algebra students trouble and I hate to just
  89. say:
  90.  
  91.         ---
  92.         \      2      n  ( n + 1 )  ( 2n + 1 )
  93. Prove:   >    i   =   -------------------------
  94.         /                        6
  95.         ---
  96.         i=1
  97.  
  98. and would like them to be able to see where we came up with those
  99. formulas.
  100.  
  101. That is, if its not too hard.  I tend to push more on my students than
  102. the other instructors, so I need to make sure it is not beyond their
  103. level.
  104.  
  105. Any explanation or references (explanation preferred) would be
  106. appreciated.
  107. ---
  108.  . DeLuxe./386 1.25 #1158s . A Parallelogram is a figure that looks like this.
  109.  . QNet3. . [WNet] 2/3 Board  Decatur, IL  217-877-1138  USR DS V32/V42b
  110.                                    
  111. ----
  112. +------------------------------------------+-----------------------------+
  113. | HAL 9000 BBS +1 313 663 4173 or 663 3959 | Four 14.4k v.32bis dial-ins |
  114. | Public Access QWK-to-Usenet gateway      | With PCBoard 14.5aM & uuPCB |
  115. +------------------------------------------+-----------------------------+
  116.