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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17860 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-08  |  1.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!moe.ksu.ksu.edu!ux1.cso.uiuc.edu!roundup.crhc.uiuc.edu!focus!hougen
  2. From: hougen@focus.csl.uiuc.edu (Darrell Roy Hougen)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: proof wanted 2
  5. Date: 8 Jan 1993 21:04:46 GMT
  6. Organization: Center for Reliable and High-Performance Computing, University of Illinois at Urbana-Champaign
  7. Lines: 24
  8. Message-ID: <1ikq9eINNmue@roundup.crhc.uiuc.edu>
  9. References: <1993Jan8.195646.1694@cc.umontreal.ca>
  10. NNTP-Posting-Host: focus.csl.uiuc.edu
  11.  
  12. cazelaig@ERE.UMontreal.CA (Cazelais Gilles) writes:
  13.  
  14.  
  15. %                                                        n
  16. % Is it true that if  C  is a nonempty closed subset of R  and x is a point
  17. % not in  C  that there exists a point c in C that is closest in C to x.
  18. %  
  19. % i.e. such that:   |x-c'| % = |x-c| for all c' in C.
  20.  
  21. I'm a little rusty on analysis, but ..., intuitively, the closest
  22. point to x in C must be on the boundary of C which is no problem if C
  23. is closed.
  24.  
  25. More precisely, if there were no closest point to x in C, that would
  26. imply that given any point c in C, one could find a point c'' in C
  27. that was closer to x.  Therefore, one could construct a sequence of
  28. points in C such that each point was closer to x than its predecessor
  29. but whose limit point was not in C.  But, if C is closed, then it
  30. contains all of its limit points, so there exists c' as defined above.
  31.  
  32. Note that c' need not be unique.  For c' to be unique, you need
  33. convexity of C.
  34.  
  35. Darrell R. Hougen
  36.