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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17770 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-06  |  2.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!uknet!comlab.ox.ac.uk!oxuniv!wbs
  2. From: wbs@vax.oxford.ac.uk
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: factorization in commutative rings
  5. Message-ID: <1993Jan6.125203.11070@vax.oxford.ac.uk>
  6. Date: 6 Jan 93 12:52:03 GMT
  7. References: <Jan.3.02.05.44.1993.24643@spade.rutgers.edu> <HAMMOND.93Jan3134111@annemarie.albany.edu>
  8. Distribution: sci.math
  9. Organization: Oxford University VAX 6620
  10. Lines: 44
  11.  
  12. In article <HAMMOND.93Jan3134111@annemarie.albany.edu>, hammond@csc.albany.edu (William F. Hammond) writes:
  13. > In article <Jan.3.02.05.44.1993.24643@spade.rutgers.edu>
  14. >    cadet@spade.rutgers.edu (Uniquely TiJean) writes:
  15. [....]
  16.  
  17. >> Well, Given D an integral domain 
  18. >> 
  19. >> Then D = euclidean domain ==> D = principal ideal domain ==> D = factorial 
  20. >>                                     domain.
  21. >> 
  22. >> I am looking for counterexamples 
  23. >> 
  24. >> B) D= princ. idl. domain doesn't imply D= euclidean domain.
  25. >> 
  26. >>    Well, I found in Hungerford ( Algebra ) 
  27. >> 
  28. >>    the following  Z( (1+sqrt(-19)) / 2 )
  29. >> 
  30. >> Question: How come? I have no cue as to why the above domain isn't euclidean.
  31. > 
  32. > Is there a standard definition of "Euclidean", i.e., of what it means to
  33. > have a ring in which there is a division algorithm?  Anyway, that is not
  34. > a problem here.
  35. > 
  36. > Let  w = (1+sqrt(-19))/2 ,  R = Z[w] = Z + Zw , and  K = Q(w) = Frac(R).
  37. > In this context "Euclidean" means that given  a, b  in  R  with  b  not
  38. > 0,  one can find  q, r  in  R  such that  (i)  a = qb + r   and
  39. > (ii)  Nm(r) < Nm(b),  where  Nm(x)  is the product of  x  and its
  40. > conjugate.  (Note:  Nm(x) > 0  for  x  not  0.)
  41. > 
  42. > "Euclidean" is equivalent to the statement that given an element  x  of
  43. > K  there is an element  a  of  R  such that  Nm(x-a) < 1.
  44.  
  45. Am I being very silly in not seeing why there are not other 
  46. candidates for the Euclidean function? 
  47. (If so please tell me why.)
  48.  
  49. [...]
  50.  
  51. > Good luck with your qual.
  52. > ----------------------------------------------------------------------
  53. > William F. Hammond                
  54.  
  55. B.
  56.