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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17747 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-06  |  3.4 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17747 sci.physics:22153
  2. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  3. Path: sparky!uunet!psinntp!scylla!daryl
  4. From: daryl@oracorp.com (Daryl McCullough)
  5. Subject: Re: Bayes' theorem and QM
  6. Message-ID: <1993Jan6.132537.13981@oracorp.com>
  7. Organization: ORA Corporation
  8. Date: Wed, 6 Jan 1993 13:25:37 GMT
  9. Lines: 66
  10.  
  11. jgk@osc.COM (Joe Keane) writes:
  12.  
  13. >>It would be nice if the volume of a region of space were always
  14. >>well-defined, but it is not. A demonstration due to Banach and Tarski
  15. >>showed that it is possible (mathematically, rather than physically
  16. >>possible) to decompose a sphere into a finite number of pieces and
  17. >>then recombine them by rotations and translations to get two complete
  18. >>spheres.
  19.  
  20. >Banach-Tarski is a good demonstration of the tricks you can play if
  21. >you have axioms which claim the existence of objects with infinite
  22. >information, or however you want to interpret the non-constructible
  23. >things that you can get only with the Axiom of Choice. But does
  24. >anyone think this has any relation to reality?
  25.  
  26. I think it would be useful for you to look at a proof of the
  27. Banach-Tarski paradox before making a judgement about its relevance to
  28. reality. Even without the axiom of choice, it is possible to do the
  29. following:
  30.  
  31.      1. Start with a countable dense subset of the sphere.
  32.      2. Divide this "holey" sphere into a finite number of pieces.
  33.      3. Rearrange the pieces by rotations and translations so as to
  34.         form 2 complete "holey" spheres equivalent to the original.
  35.  
  36. So, the trick involved in the Banach-Tarski paradox, dissecting an
  37. object and reassembling it into a larger object, does not require
  38. the axiom of choice. The axiom of choice is only necessary to extend
  39. this result to an uncountable number of points: the entire sphere.
  40.  
  41. >If you think so, please show me some pieces that you could make out of
  42. >something real like wood, such that that they almost fit together into
  43. >either one sphere or two. Also please show me a computer chip that
  44. >can store an infinite amount of information.  In fact i'll be
  45. >generous, you only have to store an arbitrarily large amount of
  46. >information.
  47.  
  48. Please read what I wrote:
  49.  
  50. "A demonstration due to Banach and Tarski showed that it is possible
  51. (mathematically, rather than physically possible) to..."
  52.  ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
  53.  
  54. The point is not that we can follow the Banach Tarski construction and
  55. multiply wood spheres, the point is that measure theory in which some
  56. sets are nonmeasurable is consistent. Therefore, there is nothing
  57. inherently contradictory about a probability theory that fails to
  58. give probabilities to some meaningful events.
  59.  
  60. >Don't get me wrong, i'm quite interested in math logic.  I like
  61. >considering strange axioms that let you enumerate the reals or decide
  62. >whether Turing machines will halt.  (No, these are not contradictory,
  63. >as long as you understand that such an axiom applies only to things
  64. >you can make without using the axiom.)  But i'm worried if people
  65. >think we can do new things in the real world by inventing new axioms
  66. >about infinite sets.
  67.  
  68. You seem to think that mathematics is only about what "we" can do or
  69. make. What do you mean by "we"? Of course, a mathematical proof of the
  70. existence of an object does not imply *human* ability to construct
  71. such an object. However, there is no a priori reason to think that
  72. nature is limited to what humans are capable of doing.
  73.  
  74. Daryl McCullough
  75. ORA Corp.
  76. Ithaca, NY
  77.