home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17640 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-04  |  2.0 KB  |  40 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!spool.mu.edu!yale.edu!jvnc.net!princeton!mace.Princeton.EDU!tao
  3. From: tao@mace.Princeton.EDU (Terry Tao)
  4. Subject: Help with Tchebyshev polynomials, please... 
  5. Message-ID: <1993Jan4.150052.3153@Princeton.EDU>
  6. Originator: news@nimaster
  7. Sender: news@Princeton.EDU (USENET News System)
  8. Nntp-Posting-Host: mace.princeton.edu
  9. Organization: Princeton University
  10. Date: Mon, 4 Jan 1993 15:00:52 GMT
  11. Lines: 27
  12.  
  13.  
  14. I've been toying with the problem of trying to maximize certain semi-norms
  15. on the space of polynomials of degree n or less which are bounded in
  16. modulus by 1 on the interval [-1, 1], i.e. the set of all f of degree \leq
  17. n such that |f(x)| \leq 1 for all x in [-1, 1].  The semi-norms I have in
  18. mind are things like the following: the L^p norm of f on the interval [1,
  19. 1], the derivative of f at a point x_0, the value of f at a point x_0
  20. (where x_0 need not be inside [-1, 1]), various coefficients of f, and so
  21. on.  (actually some of these are not quite seminorms, you have to take the
  22. modulus of them first, but this is not important).  In most of these cases
  23. I found that a maximum exists, because the space in question is convex,
  24. closed, and "bounded" in a sense, and the extremal value of f must attain
  25. the values -1 and 1 at least n times in the interval [-1, 1] and no more
  26. than n+1 times.  If f attans the values -1 and 1 n+1 times, then I can show
  27. f is essentially a Tchebyshev (sic?) polynomial, f(x) = cos(n arccos(x)),
  28. which is nice.  But how does one characterize the polynomials f which only
  29. attain the values -1 and 1 n times on the interval [-1, 1]? Some of these
  30. polynomials are merely dilations of the Tchebyshev, but others are slightly
  31. different.  I have some characterizations of them, but they involve cosines
  32. of elliptic functions and this is not a friendly characterization to work
  33. with.  I also have a recursion formula for the coefficients but they are
  34. also very messy to work with.  Anyone know of a nice characterization of
  35. these polynomials, or at least be able to give me a reference?
  36.  
  37. Email is preferred.  Thank you.
  38.  
  39. Terry
  40.