home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / comp / lang / fortran / 4959 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-10  |  1.4 KB  |  50 lines
  1. Newsgroups: comp.lang.fortran
  2. Path: sparky!uunet!gatech!concert!rock!taco!grad12.math.ncsu.edu!kbanerje
  3. From: kbanerje@grad12.math.ncsu.edu (Kaushik Banerjee)
  4. Subject: Re: simultaneous equations...solutions
  5. Message-ID: <1993Jan10.211732.24254@ncsu.edu>
  6. Sender: news@ncsu.edu (USENET News System)
  7. Organization: NCSU Mathematics Dept.
  8. References: <1993Jan10.191952.16384@nuscc.nus.sg>
  9. Date: Sun, 10 Jan 1993 21:17:32 GMT
  10. Lines: 38
  11.  
  12. Fact #1
  13.  
  14. An nxn linear system Ax=b has a unique solution if
  15. and only if A is nonsingular.
  16.  
  17. Fact #2
  18.  
  19. An mxn (where m .ne. n) linear system Ax=b has either 
  20. no solution (termed "inconsistent") or an infinite number 
  21. of solutions.
  22.  
  23. Fact #3
  24.  
  25. The best you can do is a "least squares" solution.
  26. Notation: A' = transpose of A
  27.           A^ = inverse of A 
  28.           ||x|| = Euclidean norm of the vector x
  29. Say you want to solve Ax=b where A is nx3
  30. ==> A'Ax = A'b  (these are the "normal equations")
  31.     If the columns of A are linearly independent, then the
  32.     3x3 matrix A'A is nonsingular.
  33. ==> x = (A'A)^A'b, i.e., x is the unique solution to the 
  34.     normal equations and the unique least squares solution
  35.     to Ax=b.
  36.     
  37. Definition of a least squares solution:
  38.  x is least squares solution if and only if
  39.  ||Ax - b|| .le. ||z - b|| for all other vectors z.
  40.  
  41. You may want to refer to "Introduction to Matrix 
  42. Computations" by Gilbert Stewart or some other text
  43. on numerical linear algebra.
  44.  
  45. Hope this helps.
  46.  
  47. K. Banerjee
  48.  
  49.  
  50.