home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17507 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-30  |  1.6 KB  |  51 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!newsgate.watson.ibm.com!yktnews!admin!yktnews!victor
  3. From: victor@watson.ibm.com (Victor Miller)
  4. Subject: Re: need proof:  (1 + 1/n)^n ==> e
  5. Sender: news@watson.ibm.com (NNTP News Poster)
  6. Message-ID: <VICTOR.92Dec30104755@terse.watson.ibm.com>
  7. In-Reply-To: pratt@Sunburn.Stanford.EDU's message of Tue, 29 Dec 1992 09:48:42 GMT
  8. Date: Wed, 30 Dec 1992 15:47:55 GMT
  9. Lines: 34
  10. Reply-To: victor@watson.ibm.com
  11. Disclaimer: This posting represents the poster's views, not necessarily those of IBM
  12. References: <1glr2qINN2vg@usenet.INS.CWRU.Edu> <1hfv4sINNdlk@usenet.INS.CWRU.Edu>
  13.     <1992Dec29.094842.3685@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  14. Nntp-Posting-Host: terse.watson.ibm.com
  15. Organization: IBM, T.J. Watson Research Center
  16.  
  17. The following simple proof comes from "Inequalities" by P. Korovkin,
  18. Blaidell Scientific paperbacks.
  19.  
  20. set x_n = (1+1/n)^n, and y_n = (1+1/n)^{n+1}.
  21.  
  22. We show that x_n is monotone increasing and y_n is monotone
  23. descreasing.  Since x_n < y_n we find that they both approach a common
  24. limit, which we call e.
  25.  
  26. Proofs:
  27.  
  28. We use the inequality of the arithmetic and geometric mean, in the
  29. following form:
  30.  
  31. (a b^n)^{1/(n+1)} <= (a + n b)/(n+1).
  32.  
  33. If we let a=1, and b = (1+1/n), and raise both side to the (n+1)st
  34. power, we find:
  35.  
  36. x_n <= ((1 + n(1+1/n))/(n+1))^{n+1} = (1+1/(n+1))^{n+1} = x_{n+1}.
  37.  
  38. Now set z_n = (1-1/n)^n. As above, we set a=1, and b=(1-1/n), we get
  39.  
  40. z_n <= ((1 + n(1-1/n))/(n+1))^{n+1} = (1 - 1/(n+1))^{n+1} = z_{n+1}.
  41.  
  42. Now observe that y_n = 1/z_{n+1}, so y_n is decreasing.  QED
  43.  
  44.  
  45.  
  46. --
  47.             Victor S. Miller
  48.             Vnet and Bitnet:  VICTOR at WATSON
  49.             Internet: victor@watson.ibm.com
  50.             IBM, TJ Watson Research Center
  51.