home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / physics / 21512 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-21  |  6.6 KB  |  167 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!moe.ksu.ksu.edu!hobbes.physics.uiowa.edu!news.iastate.edu!pv343f.vincent.iastate.edu!abian
  3. From: abian@iastate.edu (Alexander Abian)
  4. Subject: TIME HAS INERTIA. RELATIVISTIC ADDITION OF VELOCITIES part 4
  5. Message-ID: <abian.724906846@pv343f.vincent.iastate.edu>
  6. Sender: news@news.iastate.edu (USENET News System)
  7. Organization: Iowa State University, Ames IA
  8. Date: Mon, 21 Dec 1992 03:00:46 GMT
  9. Lines: 156
  10.  
  11.                
  12.    
  13. CONSTRUCTION OF NEW ALGEBRAS FROM THE OLD ALGEBRAS  (12-20-92- part 4)
  14.  
  15.  
  16.    I have promised to derive the formula for Relativistic addition of
  17. velocities based solely on the elementary algebra and the results of 
  18. Michelson-Morley experiment (to which I do not necessarily subscribe).
  19.  
  20.    I have given 3 preliminary postings just to motivate the reader for
  21. developing an abstract approach in connection with algebraic binary
  22. operations defined on a set.  
  23.    
  24.    The essential point is that a binary operation  *(x,y), - customarily  
  25. written as  x*y - is very conveniently defined when its table is 
  26. explicitly given.  
  27.    
  28.    Of course the difficulties arise when  the set on which  *  is defined  
  29. has a large finite number or an infinite number of elements and also
  30. when several (usually two) binary operations are defined on the same set.
  31. The usual examples of which are the algebras of real numbers, of complex
  32. numbers, of quaternions, of matrices, etc., etc.
  33.   
  34.    None of the three previous postings are needed for my derivation of 
  35. the formula for Relativistic addition of velocities.  However, since
  36. Relativistic addition (of velocities) is  a new type addition, i.e.,
  37. is a new algebra (where 3 + 4 is not equal to 7), I thought that it
  38. would be helpful to introduce the notion and examples of abstract 
  39. unintuitive algebras.
  40.  
  41.    In part 2, I have given via (6) and (7)  an example of a very abstract
  42.    algebra where addition and multiplication are not commutative
  43.    are not associative, etc., In contrast in part 2, via (14) and (15) 
  44.    I have given an example of a rather decent algebra.
  45.  
  46.  Let me give another example of a decent algebra. In fact an example of
  47. a FIELD where addition forms a commutative group and where multipli-
  48. cation of nonzero elements also forms a commutative group and multi-
  49. plication is distributive  w.r.t. addition.  Thus this example
  50. satisfies all the desirable properties of the usual arithmetic of the
  51. real numbers.
  52.  
  53.        + |  0   1   2   3   4            * |  0   1   2   3   4                
  54.      ----|---------------------         ---|--------------------- 
  55.        0 |  0   1   2   3   4            0 |  0   0   0   0   0   
  56.        1 |  1   2   3   4   0            1 |  0   1   2   3   4
  57.  (23)  2 |  2   3   4   0   1    (24)    2 |  0   2   4   1   3
  58.        3 |  3   4   0   1   2            3 |  0   3   1   4   2
  59.        4 |  4   0   1   2   3            4 |  0   4   3   2   1
  60.          
  61. The above example is the familiar FIELD of Integers mod. 5
  62. The example given by (23), (24)  very much resembles the algebra of
  63. the real numbers (extensively used in Calculus, Physics, etc)    
  64.  
  65. Every elements  x  has a  additive inverse  -x ,  where  x+(-x)=0
  66.  
  67. For instance,
  68.  
  69. (25)    -0 = 0,    -1 = 4,    -2 = 3,    -3 = 2,   -4 = 1
  70.     
  71. Every nonzero element x has a multiplicative inverse  1/x  or  x^(-1)
  72.  
  73. where  (1/x)*x = 1 = (x^(-1))*x 
  74.  
  75. For instance
  76.  
  77. (26)    1/1 = 1,    1/2 = 3,   1/3 = 2,    1/4 = 4
  78.  
  79.   Now, let us call  (23) and (24) an OLD algebra. New algebras most
  80. conveniently can be created based on OLD algebras in variety of ways.
  81. This is a very common practice is Mathematics and has the advantage 
  82. of preserving some of the (Time Tested) valuable  properties of  OLD 
  83. algebras.  
  84.   For instance, we may create a NEW algebra from an OLD algebra by
  85. preserving the OLD multiplicative table and by defining a NEW addition
  86. by a suitable formula.
  87.   
  88.    Example 1  of a NEW algebra  using the OLD algebra (23),(24)
  89.  
  90.   Let us create a New algebra on the set {0,1,2,3,4} based on the Old algebra
  91. (23), (24)  by preserving the OLD multiplication and by defining NEW addi-
  92. tion  (+)  via the formula
  93.  
  94. (27)    x (+) y  =   3*x - 2*y      
  95.   
  96.   Accordingly in our NEW  algebra  we will have
  97.  
  98.         4 (+) 2  =  3*4 -2*2  which by (23) and (24)  yields  
  99.                  =   2 + 1 = 3
  100.   So in our NEW algebra
  101.         
  102.         4 (+) 2 = 3     whereas in the OLD algebra    4 + 2 = 1
  103.  
  104.  Again, in our NEW algebra
  105.  
  106.        (3(+)1) * ( 2(+)2 ) = (3*3-2*1) * (3*2-2*2) 
  107.                            =   2 * 2 = 4
  108.  
  109.   Example 2.  of a NEW algebra  based on the OLD algebra (23),(24)
  110.               where we impose on  NEW addition (+)  a certain condition
  111.  
  112.      I want to create a NEW algebra on  {0,1,2,3,4} while preserving the 
  113. OLD multiplication * (24)  but I want a recipe for NEW addition (+)
  114. in such a way that  3  plays almost the role oft he  speed of LIGHT, i.e.,
  115. where I impose on  3 the property:
  116.  
  117. (28)   3 (+) y  =  3   and  x (+) 3 = 3  for every  x,y = 0,1,2,3,4      
  118.    
  119.    Now, how to devise a recipe for   x (+) y  ?
  120.   
  121.    Well, I say, let me try  the following linear combination for (+)
  122.        
  123. (29)   x (+) y  =  a*x + y         where  * and + are OLD addition and 
  124.                                    multiplication given by (23) and (24)
  125.  
  126.   and let us determine  a  in (29) so that (28) is satisfied, i.e.
  127.  
  128.       3 (+) y  =  a*3+y = 3    Thus,   a = (3 -y)/3 = 2*(3 -y)
  129.  
  130. replacing this  a  in (29), we have
  131.  
  132. (30)    x (+) y  =   2*(3-y)*x + y
  133.  
  134.   SO, OUR NEW ALGEBRA with  (+)  and  *    is defined by
  135.  
  136.  (31)   x (+) y  =  2*(3-y)*x +y    and    x*y = x*y   
  137.                     where  +  and  *  refers to OLD algebra  (23), (24)
  138.  
  139.    But now, in our NEW algebra   3  acts almost like the speed of light
  140.    Indeed,
  141.        3 (+)4 = 2*(3-4)*3 +4 = 3
  142.        3 (+)3 = 2*(3-3)*3 +3 = 3
  143.        3 (+)2 = 2*(3-2)*3 +2 = 3     because   3(+)y = 3 - y + y = 3 
  144.        3 (+)1 = 2*(3-1)*3 +1 = 3
  145.        3 (+)0 = 2*(3-0)*3 +0 = 3
  146.                             and also  because   x(+)3 = 2*(3-3)*x + 3 = 3
  147.  
  148.      NEXT TIME I WILL DERIVE  THE FORMULA FOR THE RELATIVISTIC
  149.      ADDITION OF LIGHT AND FINISH  THE WHOLE THING.
  150.  
  151. P.S   (A2)   i.e.,   TIME HAS INERTIA  is the indispensable principle for
  152.                      Physics.  NO avoiding it . Its acceptance is 
  153.                      INEVITABLE.
  154.                                             Alexander Abian
  155.                                                    
  156.  
  157.  
  158.  
  159.  
  160.  
  161.  
  162. -- 
  163.    The tendency of maintaining the status-quo, Reaction to provocation and
  164.                 The tendency of maintaining again a status-quo.  
  165.     TIME HAS INERTIA  and some energy is lost to move Time forward  
  166.   E = mcc  (Einstein)    must be replaced by    E = m(0) exp(-At) (Abian)
  167.