home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / physics / 21154 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-14  |  2.9 KB  |  65 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!europa.asd.contel.com!darwin.sura.net!spool.mu.edu!agate!linus!linus.mitre.org!faron!wdh
  3. From: wdh@faron.mitre.org (Dale Hall)
  4. Subject: Re: Can space-time intersect itself?
  5. Message-ID: <1992Dec14.211427.9559@linus.mitre.org>
  6. Followup-To: sci.physics
  7. Summary: be careful with embedding theorems
  8. Keywords: embedding, isometry
  9. Sender: Dale Hall
  10. Nntp-Posting-Host: faron.mitre.org
  11. Organization: Research Computer Facility, MITRE Corporation, Bedford, MA
  12. References: <1992Dec2.232639.13222@galois.mit.edu> <398@moene.indiv.nluug.nl>
  13. Distribution: net
  14. Date: Mon, 14 Dec 1992 21:14:27 GMT
  15. Lines: 48
  16.  
  17. In article <398@moene.indiv.nluug.nl> toon@moene.indiv.nluug.nl (Toon
  18.             Moene) writes: 
  19. >In article <1992Dec2.232639.13222@galois.mit.edu> jbaez@riesz.mit.edu
  20. >(John C. Baez) writes:
  21. >> In article <1992Dec2.014924.8076@netcom.com> raicu@netcom.com (Eugen  
  22. >Raicu) writes:
  23. >> >In principle, can there be any mass distribution that would result in a
  24. >> >space-time which intersects itself? 
  25. >> 
  26. >> Not as far as I can tell, if I understand the question.  The point is
  27. >> that spacetime is not embedded in some higher-dimensional space so it
  28. >> can't "bump into itself".  This is precisely why it's nice to have an
  29. >> intrinsic definition of manifolds, by the way!
  30. >
  31. >Now that's interesting - I'm sure I remember from my Differential Geometry  
  32. >course that ANY manifold can be embedded in Rn. A five minutes worth of  
  33. >flapping through the pages of my DG book* tells me that I have to modify  
  34. >this to: ANY manifold that has a COUNTABLE base (so-called seperable  
  35. >manifold).
  36.  
  37.     This is of course true, but for embedding results you require
  38.     a certain number of "extra dimensions".  
  39.  
  40.     For plain-old smooth embeddings a manifold of dimension n can
  41.     be embedded in R^(2n+1). (Actually if n>2 it's R^(2n) by
  42.     something called the Whitney trick.  But then, there are only
  43.     so many 2-dimensional manifolds [besides the 2-sphere, it's
  44.     just connected sums of tori & projective planes], and they all 
  45.     embed into R^4, so R^(2n) works for every compact n-manifold.)
  46.  
  47.     However, if you're married to the notion of a particular
  48.     Riemannian metric, then the best you can do is R^(n^2+10n+3),
  49.     according to Gromov ("Partial Differential Relations").
  50.     Notice the quadratic in the dimension: it tells you that to
  51.     have all the luxury of home, it'll cost you plenty.  Who
  52.     woulda thunka needing R^42 for a dumbole M^3?  If the version
  53.     for Lorentz metrics were true, you would be worrying about
  54.     R^59 to hold spacetime.  Damb.
  55.  
  56.     The fact that manifolds can be embedded in Euclidean space
  57.     appears (to me) to be over-used and under-understood by people
  58.     in general.  While embedding can be useful and fun, it does
  59.     carry a certain price, in this example, in terms of additional
  60.     coordinates that may appear.  Whether this additional load of
  61.     scientific baggage constitutes a good investment is not an
  62.     obvious question.
  63.  
  64.  
  65.