home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17236 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-21  |  1.9 KB  |  56 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!caen!umeecs!quip.eecs.umich.edu!kanad
  3. From: kanad@quip.eecs.umich.edu (Kanad Chakraborty)
  4. Subject: Re: Integral Puzzle (SPOILER)
  5. Message-ID: <1992Dec20.183116.23990@zip.eecs.umich.edu>
  6. Sender: news@zip.eecs.umich.edu (Mr. News)
  7. Organization: University of Michigan EECS Dept., Ann Arbor
  8. References: <1992Dec19.011244.2780@Csli.Stanford.EDU> <Dec.20.11.00.28.1992.16004@romulus.rutgers.edu>
  9. Date: Sun, 20 Dec 1992 18:31:16 GMT
  10. Lines: 44
  11.  
  12. In article <Dec.20.11.00.28.1992.16004@romulus.rutgers.edu> clong@romulus.rutgers.edu (Chris Long) writes:
  13. >In article <1992Dec19.011244.2780@Csli.Stanford.EDU>, Yuzuru Hiraga writes:
  14. >
  15. >> Let f be any function such that:
  16. >>     * for 0<=x<=1; 0<=f(x)<= a
  17. >
  18. >>       /1
  19. >>     * |  f(x)dx = A
  20. >>       /0
  21. >> where a and A are given constants (obviously, A<=a).
  22. >
  23. >> What are the maximum and minimum values that
  24. >
  25. >>     /1       2
  26. >>     |  {f(x)}  dx
  27. >>     /0
  28. >
  29. >> can take?
  30. >
  31. >Let I = \int_0^1 f(x)^2 dx; the fact that I >= A^2 follows immediately
  32. >from the Cauchy-Schwarz inequality.  For the other (more interesting)
  33. >direction, consider that if f(x) is non-negative, then so is a-f(x),
  34. >and so (f(x)+a-f(x))^2 >= f(x)^2+(a-f(x))^2, hence \int_0^1 a^2 dx >=
  35. >\int_0^1 f(x)^2 dx + \int_0^1 (a-f(x))^2 dx ==> a^2 >= I + a^2 - 2aA
  36. >+ I ==> I <= aA.  To finish, such functions exist.  For the first case,
  37. >consider f(x)=A.  For the second, consider f(x)=a for 0 <= x <= A/a,
  38. >f(x)=0 elsewhere.
  39. >-- 
  40. >Chris Long, 265 Old York Rd., Bridgewater, NJ  08807-2618
  41. >
  42. >"S.B., with an I.Q. of 161, failed to complete his course of study,
  43. >running away instead with his professor's wife."
  44. >H. J. Eysenck, _Know Your Own I.Q._
  45.  
  46. An easier way to prove that the integral is <= aA is as follows :
  47.  
  48. f(x)^2 = f(x) * f(x) <= a * f(x),  since f(x) <= a for 0<=x<=1;
  49. hence :
  50.  
  51.      /1       2           /1
  52.      |  {f(x)}  dx    <=  | a * f(x) dx  = aA
  53.      /0                   /0
  54.  
  55. Kanad
  56.