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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17128 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-18  |  4.0 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17128 sci.philosophy.tech:4582
  2. Newsgroups: sci.math,sci.philosophy.tech
  3. Path: sparky!uunet!pmafire!mica.inel.gov!guinness!opal.idbsu.edu!holmes
  4. From: holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes)
  5. Subject: Re: Numbers and sets
  6. Message-ID: <1992Dec17.235906.13828@guinness.idbsu.edu>
  7. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  8. Nntp-Posting-Host: opal
  9. Organization: Boise State University
  10. References: <1992Dec14.162438.15591@guinness.idbsu.edu> <1992Dec15.135030.18526@husc3.harvard.edu> <1992Dec15.214124.7444@guinness.idbsu.edu>
  11. Date: Thu, 17 Dec 1992 23:59:06 GMT
  12. Lines: 66
  13.  
  14. In article <1992Dec15.214124.7444@guinness.idbsu.edu> holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes) writes:
  15. >I repent!  I repent!  No >>>>>>>>>>>>>>>>>!
  16. >
  17. >My final answer to Zeleny is that I accept his point in a modified
  18. >form (which for him may not count as acceptance at all.)  I think that
  19. >the sets of Zermelo set theory and its extensions (with the Axiom of
  20. >Foundation) are best understood as being related to isomorphism types
  21. >of well-founded extensional relations.  Insofar as ordinals (best
  22. >understood as being related to isomorphism types of well-orderings)
  23. >are a prominent and structurally significant special case of this kind
  24. >of relation, I agree that the ordinals are essential to understanding
  25. >ZF.  This is sharpened when ZF is extended to ZFC by the addition of
  26. >the axiom of choice.  The particular approach of ZF makes it
  27. >impossible to choose canonical objects to serve as cardinal numbers
  28. >without using foundation or choice.  The concept of cardinal number
  29. >(although not the relations of having less or greater cardinality)
  30. >depends on foundation or choice for its expression.
  31. >
  32. >But the axioms which mediate this relation with the ordinals (or more
  33. >generally with well-founded extensional relations) are strictly
  34. >foundation and choice.  ZF- is still a powerful set theory (it is no
  35. >weaker than ZFC in terms of consistency strength).  Its axioms of
  36. >separation and replacement embody a concept of _set_ (avoiding paradox
  37. >by application of the "limitation of size" doctrine) which is not
  38. >dependent on the ordinals.  ZF- is not studied much that I know of,
  39. >but the situation is the same in ZFA, in which extensionality is
  40. >weakened to allow atoms (I believe that Zermelo's original theory
  41. >allowed atoms, which argues against Zeleny's claim about the history
  42. >of the set idea!) without choice, and this theory is studied; it was
  43. >the first theory for which models without choice were constructed.
  44. >The iterative hierarchy is a powerful working hypothesis, but it is
  45. >not a prerequisite for the modern concept of set, but a refinement
  46. >thereof.  Notice that it _does_ appear in ZFA or ZF- as the structure
  47. >of _part_ of the universe.
  48. >
  49. >
  50. >By the way, Aczel's AFA is just as good as foundation; ZF- + AFA does
  51. >have well-defined canonical cardinal numbers.
  52. >
  53. >A definition of "stage of the iterative hierarchy":  let a "universe"
  54. >be a set which contains all elements of its elements and all subsets
  55. >of its elements.  Then a "stage of the iterative hierarchy" is a
  56. >universe which contains all its proper subsets which are universes.
  57. >The correctness of this definition is left as an exercise, but note
  58. >that it does not depend on the ordinals!
  59.  
  60. Alas, this definition is incorrect.  All sets which have this property
  61. are stages, but not all stages have this property.  I was working by
  62. analogy with the definition of "ordinal" as "transitive set which
  63. contains all its transitive proper subsets"; I'm sure there is a
  64. refinement of this approach which does work, and I have another
  65. definition on tap which is correct.
  66.  
  67. >
  68. >-- 
  69. >The opinions expressed        |     --Sincerely,
  70. >above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  71. >opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  72. >or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  73.  
  74.  
  75. -- 
  76. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  77. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  78. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  79. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  80.