home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17044 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-16  |  2.7 KB  |  70 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Re: Pi in beatiful form --lost
  5. Message-ID: <1992Dec16.201741.24270@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <BzBt9q.2HM@unccsun.uncc.edu> <1gmvieINN7al@aludra.usc.edu>
  9. Date: Wed, 16 Dec 1992 20:17:41 GMT
  10. Lines: 58
  11.  
  12. In article <1gmvieINN7al@aludra.usc.edu> rmurphy@aludra.usc.edu (Bob Murphy) writes:
  13. >There are many other beautiful formulas involving pi.
  14. >Here are a few of them.
  15. >
  16. >pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
  17. >
  18. >(pi - 3)/4 = 1/(2*3*4) + 1/(4*5*6) + 1/(6*7*8) + ...
  19. >
  20. >4/pi = 1 +  1^2
  21. >           ------------------------------
  22. >            2 +  3^2
  23. >                -------------------------
  24. >                 2 + 5^2
  25. >                    --------------------
  26. >                      2 + 7^2
  27. >                         ---------------
  28. >                           2 + 9^2
  29. >                              ----------
  30. >                                2 + ...
  31. >
  32. >and I guess I should include Euler's:
  33. >
  34. >(pi^2)/6 = 1 + 1/(2^2) + 1/(3^2) + 1/(4^2) + 1/(5^2) + ...
  35.  
  36. And then there is the oldest formula, Vieta's product from 1593:
  37.  
  38. 2/pi = sqrt(1/2) * sqrt((1+sqrt(1/2))/2) * ...
  39.  
  40. where each succeeding factor is the square root of the arithmetic mean
  41. of 1 and the preceding factor.
  42.  
  43. Vieta's product is just the arithmetic behind Archimedes' computation
  44. of progressivey better lower bounds on pi, but starting from a square
  45. instead of the hexagon Archimedes started with.  The product of the
  46. first n factors in Vieta's expression yields square-Archimedes' n-th
  47. lower bound as obtained by using the perimeter of the 2^{n+1}-gon to
  48. estimate the circumference of the circumscribed circle.
  49.  
  50. Now square-Archimedes also obtains a matching series of upper bounds
  51. on pi by using the perimeter of the 2^{n+1}-gon to estimate the
  52. circumference of the *inscribed* circle.
  53.  
  54. ## When the sqrt operation is dropped from the n-th factor of Vieta's
  55. ## product, the product of those first n factors yields Archimedes' n-th
  56. ## upper bound.
  57.  
  58. My post of Oct. 16 about old methods of computing pi included a proof
  59. of this fact.  I have not seen this connection with Archimedes' upper
  60. bounds pointed out elsewhere, so if anyone knows of a prior source I
  61. would very much appreciate hearing about it.
  62.  
  63. I should also make the connection here with my post of a few days back
  64. showing that the "average" value of pi for the square is within .1% of
  65. that for the circle.  The square of course corresponds to stopping
  66. Vieta's product at n=1, and gives 2 sqrt(2) and 4 as respectively lower
  67. and upper bounds on pi.
  68. -- 
  69. Vaughan Pratt                There's safety in certain numbers.
  70.