home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 16959 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-15  |  3.1 KB
  1. Xref: sparky sci.math:16959 rec.puzzles:7933
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!ames!think.com!news!columbus
  3. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  4. Newsgroups: sci.math,rec.puzzles
  5. Subject: The paradox of the second ace (was: Marilyn Vos Savant's error?)
  6. Date: 15 Dec 92 11:12:55
  7. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  8. Lines: 65
  9. Message-ID: <COLUMBUS.92Dec15111255@strident.think.com>
  10. References: <1gj5grINNk05@crcnis1.unl.edu>
  11.     <1992Dec15.012404.24027@galois.mit.edu>
  12.     <1992Dec15.055832.26324@galois.mit.edu>
  13. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  14. In-reply-to: jbaez@riesz.mit.edu's message of Tue, 15 Dec 92 05:58:32 GMT
  15.  
  16. In article <1992Dec15.055832.26324@galois.mit.edu> jbaez@riesz.mit.edu
  17. (John C. Baez) writes: 
  18.  
  19.    1)  You draw 4 cards from a well-shuffled standard deck.  Given that one
  20.    is an ace, what's the probability that they are all aces?
  21.  
  22.    2)   You draw 4 cards from a well-shuffled standard deck.  Given that
  23.    one is the ace of hearts, what's the probability that they are
  24.    all aces?
  25.  
  26.    The answers to problems 1) and 2) are NOT THE SAME.
  27.  
  28. This is similar to the paradox of the second ace: a bridge player announces
  29. he holds an ace.  What is the probability he holds another ace?  In a later
  30. game, a bridge player announces he holds the ace of spades.  What is the
  31. probability he holds another ace?  The second probability is greater than
  32. the first.
  33.  
  34. (Assume randomly shuffled decks, and all that.)
  35.  
  36. Martin Gardner wrote into Marilyn Vos Savant with this paradox after the
  37. famous "Monty Hall" brouhaha.
  38.  
  39. (Incidentally, John commented on how QM and probability are both
  40. non-intuitive.  I'm too lazy to construct a bosonic version of the boy/girl
  41. puzzle ("I've got two photons, one of them is a boy...") but it shouldn't
  42. be too hard.)
  43.  
  44. Here is a proof of the inequality of the two probabilities that
  45. avoids lots of grungy arithmetic:
  46.  
  47. Let:
  48.   a = number of hands having exactly one ace 
  49.   b = number of hands having two or more aces 
  50.   s = number of hands having the ace of spades and no other aces
  51.   t = number of hands having the ace of spades and at least one more ace
  52.  
  53. Then:
  54.   prob(two or more aces | one ace) = b/(a+b)
  55.   prob(two or more aces | ace of spades) = t/(s+t)
  56.  
  57. Now a=4s, as you can show by a simple combinatoric argument.  Also
  58. b<2t, as you can show by a slightly more involved combinatoric
  59. argument: let b = b2 + b3 + b4, where bi is the number of hands
  60. having exactly i aces.  Also let t = t2 + t3 + t4, where ti is the
  61. number of hands having exactly i aces, one of them the ace of spades.
  62. Then
  63.  
  64.   b2 = 2 t2
  65.   b3 = (4/3)t3
  66.   b4 = t4
  67.  
  68. as simple combinatoric arguments will show.  So
  69.  
  70.   b =    b2 +      b3 + b4
  71.     =   2t2 + (4/3)t3 + t4
  72.     < 2( t2 +      t3 + t4) = 2t.
  73.  
  74. With a little algebra, and the weaker inequality b<4t, you can now show
  75. that the first conditional probability is less than the second.
  76.  
  77. Incidentally, this argument does not use the fact that the deck contains 52
  78. cards, or the fact that a bridge hand has 13 cards.  It does use the fact
  79. that the deck contains 4 aces.  However, it can easily be generalized to
  80. the case of a deck of cards with r suits, for any r >= 2.
  81.