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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 16898 < prev    next >
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Text File  |  1992-12-14  |  2.5 KB  |  54 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!saimiri.primate.wisc.edu!ames!news.hawaii.edu!tarski!ross
  3. From: ross@tarski.tmc.edu (David Ross)
  4. Subject: Re: nonstandard analysis
  5. Message-ID: <1992Dec14.212618.17566@news.Hawaii.Edu>
  6. Sender: root@news.Hawaii.Edu (News Service)
  7. Nntp-Posting-Host: tarski.math.hawaii.edu
  8. Organization: University of Hawaii Mathematics Department
  9. References: <1992Dec6.025006.16915@athena.mit.edu> <24210@galaxy.ucr.edu> <1992Dec11.234035.1668@news.Hawaii.Edu> <Bz5F04.5p3@mentor.cc.purdue.edu>
  10. Date: Mon, 14 Dec 1992 21:26:18 GMT
  11. Lines: 41
  12.  
  13. In article <Bz5F04.5p3@mentor.cc.purdue.edu> hrubin@mentor.cc.purdue.edu (Herman Rubin) writes:
  14. >In article <1992Dec11.234035.1668@news.Hawaii.Edu> ross@tarski.tmc.edu (David Ross) writes:
  15. >
  16. >>There are many results in analysis, especially probability theory, for which
  17. >>the only known proofs use nonstandard analysis.  
  18. >
  19. >This is at best illusory.  Nonstandard analysis is useful in finding theorems
  20. >and simplifying arguments, but with caveats involved in interpretation.
  21. >
  22. >However, since any nonstandard proof of a standard theorem can be mechanically
  23. >translated into a standard proof
  24.  
  25. This is only true in a very weak sense.  Nonstandard arguments which just
  26. use Los Transfer can indeed be translated mechanically into standard
  27. arguments; since the first 15 years of n.s.a. arguments relied solely
  28. on transfer, the argument made sense through, say, 1975 (and still
  29. applies to arguments which use IST).
  30.  
  31. However, 'nonstandard hull' arguments, which have become common in
  32. measure theory and functional analysis, are not solely transfer-based, so
  33. are not amenable to easy translation, except perhaps by a 'local
  34. recreation' of the nonstandard model (i.e., taking a sufficiently 
  35. saturated ultraproduct of a Banach space or of a measure space).  I
  36. know of several results - for example, Keisler's strong existence
  37. theorems for stochastic differential equations, Arkeryd's work on the
  38. Boltzmann equation, some of my own results on stochastic couplings -
  39. for which, while there are possibly standard proofs without the
  40. aforementioned local re-creation, such proofs are not obtainable by
  41. mechanical translation and are not easy to see.  (Even arguments where
  42. the nonstandard hull is used primarily to simplify a weak limit argument
  43. - for example, in the superprocess constructions of Doug Perkins - it
  44. conversion is not automatic.)
  45.  
  46.  
  47. - David
  48.  
  49.  
  50. --
  51. David Ross, Dept. of Math., Univ. of Hawaii at Manoa, Honolulu HI  96822
  52. Internet: ross@math.hawaii.edu  -or- ross@tarski.math.hawaii.edu
  53. Phone: 808-956-9949
  54.