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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 16781 < prev    next >
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Text File  |  1992-12-12  |  2.8 KB  |  65 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Re: Philosophy of Pi
  5. Message-ID: <1992Dec12.221557.17530@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <1992Dec11.200538.928@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> <1992Dec12.020752.6844@netcom.com> <1gd4dbINNm9q@gambier.rick.cs.ubc.ca>
  9. Date: Sat, 12 Dec 1992 22:15:57 GMT
  10. Lines: 53
  11.  
  12. In article <1gd4dbINNm9q@gambier.rick.cs.ubc.ca> t4d192@rick.cs.ubc.ca (Bruce Paul Dow) writes:
  13. >
  14. >Actually there's a related point I haven't been able to grasp
  15. >intuitively. How about that -other- number: e
  16. >
  17. >It's just that Euler identity... I can't seem to wave my hands
  18. >around in the right way to imagine what it means to multiply
  19. >e (or any number) by itself an imaginary number of times!
  20. >
  21. >Okay, I know we can justify raising a base to an irrational
  22. >exponent using logarithms, but it doesn't seem to me to justify
  23. >the same thing for imaginary exponents.
  24. >
  25. >Of course, I have seen the Taylor series proof of Euler's
  26. >identity but I can't seem to pull any intuitive feeling out 
  27. >of it. It seems to me as well that having proved Euler's
  28. >identity, you then have a strong link between e and Pi.
  29. >Is this not so? I was wondering whether anyone knew how strong
  30. >this link might be and whether we can express e and Pi in terms
  31. >of each other in any useful way?
  32.  
  33. (Why isn't this on the FAQ?)
  34.  
  35. You have to like series a whole lot to find them an intuitive way to
  36. understand why exp(ix) traces out a circle in the complex plane.
  37.  
  38. The only property of exp that we need to show this is that exp is a
  39. fixpoint of the derivative operator D.  So let's carry out the argument
  40. for any fixpoint Df = f.  Then we must have D f(ix) = i f(ix).  That
  41. is, the velocity of the point f(ix) moving around on the complex plane
  42. under the control of the real variable x is just the vector f(ix)
  43. (construed as a line segment from the origin to the point f(ix))
  44. rotated 90 degrees counterclockwise.  Hence the point always moves at
  45. right angles to the line segment from the origin to the point.  But
  46. this can only happen for motion around a circle with center the
  47. origin.  That's it.
  48.  
  49. Exercise: Show that f(ix) goes round at a steady speed.  Infer that the
  50. fixpoints of D are exactly the functions a exp(ix) where a is given by
  51. the (arbitrarily chosen) starting position of the circular motion at
  52. x=0.
  53.  
  54. >In engineering we seem to get enough math to be able to use it
  55. >to solve problems but it's not deep enough to get comfortable
  56. >with it. By the way I just found out today I passed the
  57. >Partial Differential Equations exam after writing it for the
  58. >third time.
  59. >
  60. >Congrats, flames, comments?
  61.  
  62. Congrats are definitely in order!
  63. -- 
  64. Vaughan Pratt                Actions have consequences
  65.