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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / logic / 2469 < prev    next >
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Text File  |  1992-12-21  |  3.1 KB  |  61 lines
  1. Newsgroups: sci.logic
  2. Path: sparky!uunet!pmafire!mica.inel.gov!guinness!opal.idbsu.edu!holmes
  3. From: holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes)
  4. Subject: Re: Absoluteness, and numbers and sets as well.
  5. Message-ID: <1992Dec18.170408.28342@guinness.idbsu.edu>
  6. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  7. Nntp-Posting-Host: opal
  8. Organization: Boise State University
  9. References: <BzFrpK.DBC@cantua.canterbury.ac.nz>
  10. Date: Fri, 18 Dec 1992 17:04:08 GMT
  11. Lines: 48
  12.  
  13. It should be noted that it _is_ possible to define "cardinal number of
  14. a well-founded set" in ZF- (the usual definition without choice,
  15. relativized to the well-founded sets).  This demolishes completely
  16. Zeleny's assertion that the notion of set in the usual set theory
  17. depends on the prior notion of the ordinals.  ZF- certainly does not
  18. depend on the ordinals for the definition of its concept of set, but
  19. successfully defines the class of well-founded sets, which is the
  20. universe of ZF, and the class of ordinals itself.  It cannot define a
  21. general concept of cardinal number, though it _can_ define the notion
  22. of two sets having the same cardinality, but it can define the notion
  23. of cardinal needed in ZF; one then restricts one's attention to the
  24. well-founded sets and one is doing ZF.  One could restrict oneself
  25. further to ZFC by making the further restriction to the constructible
  26. sets.  This makes it clear that the notion of cardinal number (but not
  27. the notion of having the same cardinal) in ZF depends on the notion of
  28. "well-founded set", not on the narrower notion of "ordinal".
  29.  
  30. The definition of absoluteness goes as follows:  let M be a transitive
  31. class (a class which contains all elements of its elements).  A
  32. formula P is absolute for M if the formula is equivalent to its
  33. version with all quantifiers restricted to M, for any choice of
  34. parameters from M.
  35.  
  36. Any formula in which each quantifier is restricted to a set is clearly
  37. absolute if it makes sense in M at all (because all elements of a set
  38. in M are in fact in M; if the set to which the quantifier is
  39. restricted does not exist in M, the formula doesn't make sense in M).
  40.  
  41. It is possible to define "ordinal" using a restricted formula: "x is
  42. transitive and x is linearly ordered by membership" iff x is an
  43. ordinal, and every quantifier in the definition can be restricted to x
  44. itself.  It is not possible to define cardinality using a restricted
  45. formula: |A| = |B| if there is a bijection f from A to B; the problem
  46. is that the transitive class M might not contain any witness f to this
  47. fact, so, relative to M, A and B might have different cardinalities
  48. due to the fact that no witness f to their equinumerousness is in M
  49. (it would not be the case that there was a bijection f _in M_ from A
  50. to B).
  51.  
  52. The non-definability of the cardinal numbers in ZF- is a different
  53. kind of problem.  Equinumerousness (having the same cardinal) is
  54. perfectly definable in ZF-; the problem is that it is impossible to
  55. pick a canonical set to represent each cardinality in ZF-.
  56. -- 
  57. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  58. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  59. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  60. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  61.