home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / bit / listserv / csgl / 1917 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-21  |  4.5 KB  |  96 lines
  1. Comments: Gated by NETNEWS@AUVM.AMERICAN.EDU
  2. Path: sparky!uunet!paladin.american.edu!auvm!EID.ANL.GOV!GABRIEL
  3. Message-ID: <9212201635.AA17233@athens.eid.anl.gov>
  4. Newsgroups: bit.listserv.csg-l
  5. Date:         Sun, 20 Dec 1992 10:35:51 CST
  6. Sender:       "Control Systems Group Network (CSGnet)" <CSG-L@UIUCVMD.BITNET>
  7. From:         John Gabriel <gabriel@EID.ANL.GOV>
  8. Subject:      A Useful Insight at last
  9. Lines: 85
  10.  
  11. [Gabriel to NET 921220 10:01 CST]
  12.  
  13. Bill P and I have had an offline discussion that generated lots of
  14. light for me. So I want to share. We have two rather different views
  15. of Control Theory and hence of BCP. I think this serves to unify
  16. the two positions in exactly the technical sense of being the least
  17. general theory that includes both.
  18.  
  19. I'm going to avoid the word "Control" because it has so many different
  20. meanings. This does not signify any quarrel with BCP - just that there's
  21. a mathematical theory including BCP as a special case that I'm comfortable
  22. with.
  23.  
  24. The term "Reference Signal" is replaced by "Desired State (of the observed
  25. environment)" for similar reasons. The term "Reference" has Rock of
  26. Gibraltar like connotations, but I think we can all agree it's possible
  27. to change our desires from time to time, just as the BCP signal topology
  28. allows and encourages - i.e. the "desire" comes from within, not from
  29. without.
  30.  
  31. Thus we begin with two states of the external environment, Desired (D),
  32. and Perceived (P). For the unified theory it is sufficient for D and P
  33. to have "representations" in the mathematical sense, as points in a
  34. "metric space". This is a space where "distance" has a meaning, of
  35. one or more dimensions, each of which may be discrete or continuous.
  36. This allows us to talk about the distance between D and P, and
  37. because the space is a metric space, we are guaranteed not to reach
  38. any absurd conclusions.
  39.  
  40. Arm and Man live in 6N dimensional metric spaces - 3 spatial coordinates
  41. for each degree of freedom, and 3 momenta for each degree of freedom.
  42. If you are doing rigid body kinematics, the 6 becomes a 12, but no matter.
  43.  
  44. Most of my concepts live in many dimensional spaces where the component
  45. of state in one of the dimensions has two or three possible values -
  46. TRUE/FALSE or TRUE/UNKNOWN/FALSE. If we increase the number of possible
  47. state values in a single dimension to say 256 or 1024 or 8192 ....
  48. we can approach a continuous state space as closely as we wish, we
  49. may exactly represent the digital computational models of Man and Arm,
  50. and in fact we may represent any physical system where there is noise,
  51. either thermal or quantum, within the precision of experimental observation.
  52.  
  53. A metric space has one other imporatnt property. Given two points say
  54. D and P we have a well defined distance between them. Distances MUST
  55. obey the triangular inequality, if A B and C are in the space, then
  56.  
  57.         AB + BC >= AC
  58.  
  59. Now the central thesis of BCP can be stated.
  60.  
  61.         People behave to move P closer to D, where this is possible
  62.         at an acceptable cost.
  63.  
  64. Notice this is a constrained minimisation process. Also unlike the
  65. error P-R of BCP, DP is always positive, and may not always attain
  66. the desired minimum of zero. But the version of control theory used
  67. in BCP does in fact minimise DP for the cases considered in pratcice.
  68.  
  69. Notice also that D and P also have representations by data streams,
  70. i.e. by samples in the metric space at time intervals appropriate to
  71. the Nyquist criterion for lack of aliasing. P type data comes from
  72. sensors. D type data comes from desires.
  73.  
  74. In this case Shannon's Theory allows a metric space to be constructed
  75. (with a weighted Hamming metric) pretty much regardless of the details
  76. of the data streams, provided they are sequences of arrivals of symbols
  77. (including pulses of depolarisation across nerve membranes).
  78.  
  79. I think for the moment I need say little more. In both the continuous
  80. and discrete cases orthogonal function expansions are possible
  81. with arbitrary positive definite metric for the scalar products.
  82. These metrics have to do with power limits, or value systems.
  83.  
  84. This is why the detailed machinery of Control Theory does the job.
  85. Essentially the metric space allows Fourier Analysis and Laplace
  86. Transforms, which lead to the control formalism of BCP. But
  87. in some cases minimisation algorithms, taking account of the
  88. possible may be closer to the real world. All this also includes
  89. a lot of other things, like population genetics if you replace
  90. the machinery moving D around with Darwinian Selection. The story
  91. gets a little different but not very much.
  92.  
  93. Over and out. I'm exhausted.
  94.  
  95.                 John
  96.