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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 18998 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-11-17  |  2.6 KB

  1. Xref: sparky sci.physics:18998 sci.math:15074
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  4. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  5. Subject:  Covariant vs. Lie Derivative in Gen. Rel.?
  6. Message-ID: <1992Nov16.221115.9273@galois.mit.edu>
  7. Sender: news@galois.mit.edu
  8. Nntp-Posting-Host: riesz
  9. Organization: MIT, Department of Mathematics
  10. Date: Mon, 16 Nov 92 22:11:15 GMT
  11. Lines: 60
  12.  
  13. Ric Peregrino writes:
  14.  
  15. >I've been struggling with the concept of covariant derivative for some
  16. time.
  17.  
  18. >For a covariant tensor of 1st rank (order, whatever) A
  19. >
  20. >            j   k
  21. >A   = dA /dx - G  A
  22. > i;j    i       ij k
  23. >
  24. >as I'm sure you all know. 
  25.  
  26. Fine.  Here G, usually written Gamma, is called the Christoffel symbol
  27. in the context of general relativity.  The left hand side is called the
  28. covariant derivative of A.  
  29.  
  30. >The "connection" is an additional restraint that need not
  31. >be imposed to insure the tensor character of the resulting tensor.
  32.  
  33. Huh?  This makes no sense to me, which is probably related to 
  34. the problem you are having.  The "connection" is not a restraint, or
  35. constraint.  There are many ways of thinking about connections but the
  36. most relevant here is that the connection simply IS the entity 
  37.  
  38.    k
  39.  G  
  40.   ij 
  41.  
  42. More precisely, the Christoffel symbol expresses the connection in a
  43. given coordinate system (or frame).   It's obvious from this point of
  44. view that one needs a connection to define covariant derivatives.
  45.  
  46. >>2) The covariant derivative only requires a tangent vector at one point
  47. >>of the manifold.  The price you pay is this: to define it you need to
  48. >>choose a connection on the (tangent bundle of) the manifold.  Of course,
  49. >>such a connection - the Levi-Civita connection - comes for free if your
  50. >>manifold has a Riemann metric on it.
  51.  
  52. >Hmm.... If I look at the covariant derivative of the scalar I above, all
  53. >I need to know are...
  54.  
  55. You misunderstood my point since I wasn't precise enough.  To take the
  56. covariant derivative of a tensor A in a given direction v at a certain
  57. point x, all *v* needs to be is a tangent vector at x.  I would write
  58. this covariant derivative as D_v A(x); in coordinates it's
  59.  
  60.  j
  61. v A   (x)
  62.  
  63.    i;j
  64.  
  65. Of course to figure this out we need to know A and all its first
  66. derivatives at x and we need to have a choice of connection, that is, we
  67. need to know the Christoffel symbol.  My point was that we only need to
  68. have a tangent vector v at the point x, as opposed to what we need to
  69. compute a Lie derivative, which requires v to be a vector field in a
  70. neighborhood of the point x.  (Well, one can get by with less to compute
  71. a Lie derivative, but please don't anyone point that out and comfuse
  72. things further.)  
  73.