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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15195 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-18  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!destroyer!cs.ubc.ca!unixg.ubc.ca!unixg.ubc.ca!israel
  2. From: israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: ODE problem...
  5. Date: 18 Nov 92 23:43:57 GMT
  6. Organization: The University of British Columbia
  7. Lines: 51
  8. Message-ID: <israel.722130237@unixg.ubc.ca>
  9. References: <1992Nov17.205237.21447@athena.mit.edu>
  10. NNTP-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  11.  
  12. In <1992Nov17.205237.21447@athena.mit.edu> frisch1@athena.mit.edu (Jonathan Katz) writes:
  13.  
  14. >The following ODE problem came up recently.
  15. >I know how to solve it by the power series method, but was wondering
  16. >if anyone could figure out an easier way of solving it (maybe a nice
  17. >substitution?).
  18. >(x and y are functions of t, a is a constant)
  19. >x'=(a)(x)cost+(a)(y)sint
  20. >y'=(a)(x)sint-(a)(y)cost.
  21. >It may be worth noting that, viewing this as a matrix problem:
  22. >x'=Ax,
  23. >A^2=I.
  24.  
  25. >I don't know if that helps.
  26.  
  27.  
  28. Quite a neat problem!  I hope nobody was sadistic enough to
  29. assign it as homework.
  30.  
  31. First go to polar coordinates: x = r cos(s), y = r sin(s)
  32. (I'm too lazy to type "theta").
  33. (1)   r' = (x x' + y y')/r = r cos(t-2s)
  34. (2)   s' = (x y' - y x')/r^2 = a sin(t-2s)
  35.  
  36. Substitute u = t-2s in (2) to get 
  37.  
  38. (3)   u' = 1 - 2 a sin(u).
  39.  
  40. This can be solved, but it's a mess.  However, since the
  41. problem is linear, it's enough to get two particular solutions.
  42. The easy ones are where u = constant.  Let c = arcsin(1/(2a)).
  43. (This assumes |a| > 1/2, if you want real solutions)
  44. Then two solutions of (3) are u = c and u = pi - c.  
  45. Correspondingly, we get, with k = cos(c) = sqrt(1 - (1/2a)^2),
  46. and taking r(0) = 1, 
  47. (for u = c) s = (t-c)/2
  48.             r' = r cos(c) = k r
  49.             r =  exp(k t)
  50.             x =  exp(k t) cos((t-c)/2)
  51.             y =  exp(k t) sin((t-c)/2)
  52. (for u = pi - c)
  53.             x =  exp(-k t) cos((t - pi + c)/2)
  54.               =  exp(-k t) sin((t+c)/2)
  55.             y = -  exp(-k t) cos((t+c)/2)
  56. and the general solution is a linear combination of these.
  57.  
  58. -- 
  59. Robert Israel                            israel@math.ubc.ca
  60. Department of Mathematics             or israel@unixg.ubc.ca
  61. University of British Columbia
  62. Vancouver, BC, Canada V6T 1Y4
  63.