home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / physics / 11470 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-23  |  4.0 KB

  1. Xref: sparky sci.physics:11470 sci.math:9456
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!cis.ohio-state.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!sdd.hp.com!usc!snorkelwacker.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  4. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  5. Subject: Re: Chaos
  6. Message-ID: <1992Jul23.151434.5110@galois.mit.edu>
  7. Sender: news@galois.mit.edu
  8. Nntp-Posting-Host: riesz
  9. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  10. References: <1992Jul20.153122.29180@murdoch.acc.Virginia.EDU> <1992Jul21.211921.17976@galois.mit.edu> <1992Jul22.211155.9389@murdoch.acc.Virginia.EDU>
  11. Date: Thu, 23 Jul 92 15:14:34 GMT
  12. Lines: 70
  13.  
  14. In article <1992Jul22.211155.9389@murdoch.acc.Virginia.EDU> crb7q@kelvin.seas.Virginia.EDU (Cameron Randale Bass) writes:
  15. >In article <1992Jul21.211921.17976@galois.mit.edu> jbaez@nevanlinna.mit.edu (John C. Baez) writes:
  16. >>In article <1992Jul20.153122.29180@murdoch.acc.Virginia.EDU> crb7q@kelvin.seas.Virginia.EDU (Cameron Randale Bass) writes:
  17.  
  18. >>Could someone elaborate a bit more on this idea and what precisely was
  19. >>proved?  I find it rather odd.  I seem to recall that the 2-D nonlinear
  20. >>Schrodinger equation with cubic nonlinearity is completely integrable....
  21.  
  22. Whoops - when I see NS I think "nonlinear Schrodinger," not
  23. Navier-Stokes.
  24.  
  25. Anyway, there follows a terse and lucid answer:
  26.  
  27. >      First, an attractor is a subset of a phase space that all orbits
  28. >      in a that begin in a 'basin of attraction' tend to.  Among other
  29. >      things it is a bounded invariant subset of the particular 
  30. >      space (Hilbert space H for NS) that we are interested in.  From
  31. >      proposition 13.1 in Constantin and Foias's book, we take
  32. >      S(t) u_0 = u(t) as the solutions to the two-dimensional forced
  33. >      Navier-Stokes equations where S is a map from H to H. We have
  34. >      for various reasons and among other things
  35. >
  36. >            "(v)  There exists 
  37. >
  38. >                    B^V_\rho = {u: ||u|| <= \rho} \subset V
  39. >                 
  40. >                  which is an absorbing set, i.e. for every u_0 \in H
  41. >                  there exists t_0(|u_0|) such that, for t >= t(|u_0|),
  42. >                  S(t) u_0 \in B^V_\rho. "
  43. >
  44. >      Which comes from various energy estimates of the NS equations
  45. >      in this setting.
  46.  
  47. Let me see if I have the right gut feeling.  The NS equations are not
  48. conservative and I guess without forcing the energy would always
  49. approach zero as t -> infinity.  The forcing can pump in energy and so
  50. the work is to show that for more energetic states the rate of
  51. dissipation of energy is higher so there is some \rho such that
  52. eventually every solution has energy <= \rho.  (Let me know if this is
  53. seriously wrong.) 
  54.  
  55. >      This basically allows them to define a set X such that
  56. >
  57. >              X = \bigcap S(t) B^V_\rho 
  58. >      where we get
  59. >
  60. >             "(i)     X is compact in H
  61. >              (ii)    S(t) X = X for all t>=0
  62. >              (iii)   If we have Z bounded in H satisfying S(t) Z = Z
  63. >                      for all t >= 0, then Z \subset X
  64. >              (iv)    For every u_0 \in H
  65. >                      lim[t->\infty] dist(S(t) u_0,X) = 0
  66. >              (v)     X is connected."
  67.  
  68. Let's see.  (ii) is trivial, (iv) is believable, I guess (v) is easy
  69. (an intersection of nested connected sets is connected), (iii) seems
  70. easy (first of all Z must be in the ball B^V_\rho, but since S(t)Z = Z,
  71. Z is in S(t) B^V\rho for all all t>0).  That leaves (i), which I find to
  72. be the interesting part... it's the compactness that could make one hope
  73. this attractor is vaguely finite-dimensional... and I wonder what
  74. creates the compactness.
  75.  
  76. Of course for an equation like the heat equation on a compact manifold,
  77. time evolution maps the unit ball of Hilbert space into a compact set.
  78. So maybe the forced NS equation in 2d acts rather similarly - due to the
  79. viscosity?  
  80.  
  81. So my impression is that this result uses fairly standard techniques in
  82. PDE, and is not a mind-boggling, revolutionary sort of result.  Still, I
  83. like it.  I'm not trying to understand turbulence, of course.  :-)
  84.