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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / physics / 11345 < prev    next >
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Text File  |  1992-07-22  |  2.5 KB  |  83 lines

  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!email!news
  3. From: gast@next.ben-fh.tuwien.ac.at (Gast)
  4. Subject: Re: A long-winded primer on four-vectors (part 1)
  5. Message-ID: <1992Jul22.123454.20826@email.tuwien.ac.at>
  6. Sender: news@email.tuwien.ac.at
  7. Nntp-Posting-Host: next.ben-fh.tuwien.ac.at
  8. Organization: Technical University of Vienna
  9. References: <1992Jul21.182314.14031@husc3.harvard.edu>
  10. Date: Wed, 22 Jul 1992 12:34:54 GMT
  11. Lines: 70
  12.  
  13. In article <1992Jul21.182314.14031@husc3.harvard.edu>  
  14. mcirvin@husc8.harvard.edu (Mcirvin) writes:
  15.  
  16. > Likewise, a four-vector in the xt plane (t = time!) transforms
  17. > like this under a velocity boost with "rapidity parameter" phi:
  18. > x -> x' = x cosh phi + t sinh phi
  19. > t -> t' = x sinh phi + t cosh phi 
  20. > where by x and t, I mean the corresponding vector components.
  21. > Cosh phi is the famous time dilation factor, gamma, which
  22. > is 1/sqrt(1-v^2/c^2), with v the relative velocity.  Sinh phi
  23. > is gamma times v/c, or just gamma*v if c = 1.  Quantities
  24. > such as velocity, energy, and momentum can be expressed in terms
  25. > of four-vectors, making notation more compact and easy to
  26. > handle, and making it obvious when something is a relativistic
  27. > invariant and when it isn't.  
  28.  
  29. The article was a prety good overview about the subject of four-vectors.  
  30. Yet, two short remarks:
  31.  
  32. Remark 1:
  33. If you don't set c=1, the coordinates of a point in a Minkowsky-space are  
  34. (if any doubt, consider the units):
  35.  
  36.  a
  37. x = (ct,x,y,z)  (a is an upper index)
  38.  
  39. Therefore the transfromation above has to be
  40.  
  41.    x -> x' = x cosh phi   + ct sinh phi
  42.    t -> t' = x/c sinh phi +  t cosh phi 
  43.  
  44. Remark 2:
  45. Because of the metric there are two kinds of coordinates neccessary. For  
  46. example the space-vector is given as
  47.  
  48.                     a
  49.    contravariant:  x  = (ct, x, y, z)  (a is an upper index)  
  50.  
  51.    covariant:      x  = (ct,-x,-y,-z)  (a is a lower index)
  52.                     a
  53.  
  54. The relationship between a contravariant and a covariant vector is given  
  55. as
  56.                   b
  57.     A    = g   .A      where g    is the described metric tensor
  58.       a      ab                ab
  59.  
  60. The dot product is aways defined as the product of a covariant and a  
  61. contravariant vector, which explains the minus sign:
  62.  
  63.               a              a
  64.     A.B :=  A  .B   = A   .B
  65.                   a     a
  66.  
  67. For example the absolut square of the space-vector is:
  68.       a
  69.     x  .x   = (ct).(ct) + (x).(-x) + (y).(-y) + (z).(-z)
  70.           a
  71.  
  72.       a        2 2    2    2    2
  73.     x  .x   = c t  - x  - y  - z
  74.           a
  75.  
  76. I hope this two remarks are comprehensible, too.
  77.  
  78. --
  79. Harry
  80.