/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / symbolic / 2108

< prev

next >

MacOS 8.1

Win98

DOS

browse contents

view JSON data

view as text

+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+
|00000000| 50 61 74 68 3a 20 73 70 | 61 72 6b 79 21 75 75 6e |Path: sp|arky!uun|
|00000010| 65 74 21 73 75 6e 2d 62 | 61 72 72 21 73 68 2e 77 |et!sun-b|arr!sh.w|
|00000020| 69 64 65 21 77 6e 6f 63 | 2d 74 79 6f 2d 6e 65 77 |ide!wnoc|-tyo-new|
|00000030| 73 21 63 63 75 74 21 6e | 65 77 73 2e 75 2d 74 6f |s!ccut!n|ews.u-to|
|00000040| 6b 79 6f 2e 61 63 2e 6a | 70 21 79 61 79 6f 69 21 |kyo.ac.j|p!yayoi!|
|00000050| 74 61 6e 73 65 69 31 21 | 6d 68 69 72 6f 73 68 69 |tansei1!|mhiroshi|
|00000060| 0a 46 72 6f 6d 3a 20 6d | 68 69 72 6f 73 68 69 40 |.From: m|hiroshi@|
|00000070| 74 61 6e 73 65 69 2e 63 | 63 2e 75 2d 74 6f 6b 79 |tansei.c|c.u-toky|
|00000080| 6f 2e 61 63 2e 6a 70 20 | 28 48 2e 20 4d 75 72 61 |o.ac.jp |(H. Mura|
|00000090| 6b 61 6d 69 29 0a 4e 65 | 77 73 67 72 6f 75 70 73 |kami).Ne|wsgroups|
|000000a0| 3a 20 73 63 69 2e 6d 61 | 74 68 2e 73 79 6d 62 6f |: sci.ma|th.symbo|
|000000b0| 6c 69 63 0a 53 75 62 6a | 65 63 74 3a 20 54 65 73 |lic.Subj|ect: Tes|
|000000c0| 74 20 65 78 61 6d 70 6c | 65 73 20 66 6f 72 20 74 |t exampl|es for t|
|000000d0| 68 65 20 43 6f 6d 70 75 | 74 65 72 20 41 6c 67 65 |he Compu|ter Alge|
|000000e0| 62 72 61 20 53 79 73 74 | 65 6d 20 79 6f 75 20 6d |bra Syst|em you m|
|000000f0| 69 67 68 74 20 69 6e 74 | 65 72 65 73 74 65 64 2e |ight int|erested.|
|00000100| 0a 4d 65 73 73 61 67 65 | 2d 49 44 3a 20 3c 32 37 |.Message|-ID: <27|
|00000110| 30 34 40 74 61 6e 73 65 | 69 31 2e 74 61 6e 73 65 |04@tanse|i1.tanse|
|00000120| 69 2e 63 63 2e 75 2d 74 | 6f 6b 79 6f 2e 61 63 2e |i.cc.u-t|okyo.ac.|
|00000130| 6a 70 3e 0a 44 61 74 65 | 3a 20 32 39 20 4a 75 6c |jp>.Date|: 29 Jul|
|00000140| 20 39 32 20 31 30 3a 31 | 38 3a 30 33 20 47 4d 54 | 92 10:1|8:03 GMT|
|00000150| 0a 53 65 6e 64 65 72 3a | 20 6e 65 77 73 40 74 61 |.Sender:| news@ta|
|00000160| 6e 73 65 69 2e 63 63 2e | 75 2d 74 6f 6b 79 6f 2e |nsei.cc.|u-tokyo.|
|00000170| 61 63 2e 6a 70 0a 4f 72 | 67 61 6e 69 7a 61 74 69 |ac.jp.Or|ganizati|
|00000180| 6f 6e 3a 20 48 6f 6b 6b | 61 69 64 6f 20 55 6e 69 |on: Hokk|aido Uni|
|00000190| 76 2e 20 48 6f 77 65 76 | 65 72 20 49 20 61 6d 20 |v. Howev|er I am |
|000001a0| 73 75 62 6a 65 63 74 20 | 74 6f 20 74 61 6e 73 65 |subject |to tanse|
|000001b0| 69 20 66 6f 72 20 4a 55 | 4e 45 54 2e 0a 4c 69 6e |i for JU|NET..Lin|
|000001c0| 65 73 3a 20 32 38 34 0a | 0a 54 4f 3a 20 73 63 69 |es: 284.|.TO: sci|
|000001d0| 2e 6d 61 74 68 2e 73 79 | 6d 62 6f 6c 69 63 0a 53 |.math.sy|mbolic.S|
|000001e0| 75 62 6a 65 63 74 3a 20 | 54 65 73 74 20 65 78 61 |ubject: |Test exa|
|000001f0| 6d 70 6c 65 73 20 66 6f | 72 20 74 68 65 20 43 6f |mples fo|r the Co|
|00000200| 6d 70 75 74 65 72 20 41 | 6c 67 65 62 72 61 20 53 |mputer A|lgebra S|
|00000210| 79 73 74 65 6d 20 79 6f | 75 20 6d 69 67 68 74 20 |ystem yo|u might |
|00000220| 62 65 20 69 6e 74 65 72 | 65 73 74 65 64 2e 0a 0a |be inter|ested...|
|00000230| 25 20 54 68 65 20 66 6f | 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 |% The fo|llowing |
|00000240| 69 73 20 61 20 73 6d 61 | 6c 6c 20 63 6f 6c 6c 65 |is a sma|ll colle|
|00000250| 63 74 69 6f 6e 20 6f 66 | 20 73 6f 6d 65 20 65 78 |ction of| some ex|
|00000260| 61 6d 70 6c 65 20 70 72 | 6f 62 6c 65 6d 73 20 0a |ample pr|oblems .|
|00000270| 25 20 66 6f 72 20 74 68 | 65 20 63 6f 6d 70 75 74 |% for th|e comput|
|00000280| 65 72 20 61 6c 67 65 62 | 72 61 20 73 79 73 74 65 |er algeb|ra syste|
|00000290| 6d 73 20 64 61 74 65 64 | 20 62 61 63 6b 20 69 6e |ms dated| back in|
|000002a0| 20 31 39 38 35 2e 0a 25 | 20 49 20 74 68 69 6e 6b | 1985..%| I think|
|000002b0| 20 73 6f 6d 65 20 70 72 | 6f 62 6c 65 6d 73 20 61 | some pr|oblems a|
|000002c0| 72 65 20 66 61 69 72 6c | 79 20 65 61 73 79 2c 20 |re fairl|y easy, |
|000002d0| 61 6e 64 20 73 6f 6d 65 | 20 61 72 65 20 6e 6f 74 |and some| are not|
|000002e0| 2e 0a 25 20 49 20 61 6d | 20 65 73 70 65 63 69 61 |..% I am| especia|
|000002f0| 6c 6c 79 20 69 6e 74 65 | 72 65 73 74 65 64 20 69 |lly inte|rested i|
|00000300| 6e 20 74 68 61 74 20 77 | 68 69 63 68 20 65 78 61 |n that w|hich exa|
|00000310| 6d 70 6c 65 73 20 61 72 | 65 20 6e 6f 74 20 61 62 |mples ar|e not ab|
|00000320| 6c 65 0a 25 20 74 6f 20 | 62 65 20 73 6f 6c 76 65 |le.% to |be solve|
|00000330| 64 20 62 79 20 77 68 69 | 63 68 20 63 6f 6d 70 75 |d by whi|ch compu|
|00000340| 74 65 72 20 61 6c 67 65 | 62 72 61 20 73 79 73 74 |ter alge|bra syst|
|00000350| 65 6d 73 2e 0a 25 20 49 | 20 77 69 6c 6c 20 70 75 |ems..% I| will pu|
|00000360| 74 20 74 68 69 73 20 69 | 6e 20 70 75 62 6c 69 63 |t this i|n public|
|00000370| 20 64 6f 6d 61 69 6e 2e | 0a 25 20 09 09 09 45 6e | domain.|.% ...En|
|00000380| 6a 6f 79 21 0a 25 20 09 | 09 09 09 09 09 48 69 72 |joy!.% .|.....Hir|
|00000390| 6f 73 68 69 20 4d 75 72 | 61 6b 61 6d 69 0a 25 20 |oshi Mur|akami.% |
|000003a0| 09 09 09 09 09 09 6d 68 | 69 72 6f 73 68 69 40 74 |......mh|iroshi@t|
|000003b0| 61 6e 73 65 69 2e 63 63 | 2e 75 2d 74 6f 6b 79 6f |ansei.cc|.u-tokyo|
|000003c0| 2e 61 63 2e 6a 70 0a 0a | 25 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |.ac.jp..|%-------|
|000003d0| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|000003e0| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|000003f0| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|00000400| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|00000410| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a | 25 20 20 20 20 20 20 20 |-------.|%       |
|00000420| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 54 |        |       T|
|00000430| 68 69 73 20 69 73 20 61 | 20 4c 61 54 65 58 20 73 |his is a| LaTeX s|
|00000440| 6f 75 72 63 65 20 66 69 | 6c 65 2e 0a 25 2d 2d 2d |ource fi|le..%---|
|00000450| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|00000460| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|00000470| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|00000480| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|00000490| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 0a 25 20 20 20 |--------|---.%   |
|000004a0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|000004b0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|000004c0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|000004d0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 4e 6f 76 2e 20 32 |        |  Nov. 2|
|000004e0| 30 2c 20 31 39 38 35 0a | 25 0a 25 20 20 53 6f 6d |0, 1985.|%.%  Som|
|000004f0| 65 20 74 65 73 74 20 65 | 78 61 6d 70 6c 65 20 70 |e test e|xample p|
|00000500| 72 6f 62 6c 65 6d 73 20 | 66 6f 72 20 74 68 65 20 |roblems |for the |
|00000510| 43 6f 6d 70 75 74 65 72 | 20 41 6c 67 65 62 72 61 |Computer| Algebra|
|00000520| 20 53 79 73 74 65 6d 73 | 2e 0a 25 20 20 20 20 20 | Systems|..%     |
|00000530| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00000540| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00000550| 20 20 20 20 20 20 57 72 | 69 74 74 65 6e 20 62 79 |      Wr|itten by|
|00000560| 20 48 69 72 6f 73 68 69 | 20 4d 75 72 61 6b 61 6d | Hiroshi| Murakam|
|00000570| 69 2e 0a 25 0a 25 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |i..%.%--|--------|
|00000580| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|00000590| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|000005a0| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|000005b0| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|000005c0| 2d 2d 2d 2d 0a 5c 64 6f | 63 75 6d 65 6e 74 73 74 |----.\do|cumentst|
|000005d0| 79 6c 65 5b 61 34 2c 31 | 32 70 74 5d 7b 61 72 74 |yle[a4,1|2pt]{art|
|000005e0| 69 63 6c 65 7d 0a 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 64 6f |icle}..\|begin{do|
|000005f0| 63 75 6d 65 6e 74 7d 0a | 5c 73 75 62 73 65 63 74 |cument}.|\subsect|
|00000600| 69 6f 6e 7b 41 6c 67 65 | 62 72 61 69 63 20 45 71 |ion{Alge|braic Eq|
|00000610| 75 61 74 69 6f 6e 73 2e | 7d 0a 5c 62 65 67 69 6e |uations.|}.\begin|
|00000620| 7b 65 6e 75 6d 65 72 61 | 74 65 7d 0a 0a 5c 69 74 |{enumera|te}..\it|
|00000630| 65 6d 20 53 6f 6c 76 65 | 20 6e 75 6d 65 72 69 63 |em Solve| numeric|
|00000640| 61 6c 6c 79 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 71 6e 61 |ally.\be|gin{eqna|
|00000650| 72 72 61 79 2a 7d 20 0a | 74 5e 33 2d 33 74 2b 31 |rray*} .|t^3-3t+1|
|00000660| 3d 30 2e 5c 5c 0a 7b 74 | 5f 31 7d 3d 30 2e 33 34 |=0.\\.{t|_1}=0.34|
|00000670| 37 32 39 36 33 35 35 2c | 20 65 74 63 2e 0a 5c 65 |7296355,| etc..\e|
|00000680| 6e 64 7b 65 71 6e 61 72 | 72 61 79 2a 7d 0a 0a 5c |nd{eqnar|ray*}..\|
|00000690| 69 74 65 6d 20 53 6f 6c | 76 65 20 61 6c 67 65 62 |item Sol|ve algeb|
|000006a0| 72 61 69 63 61 6c 6c 79 | 0a 5c 5b 7a 5e 35 2b 32 |raically|.\[z^5+2|
|000006b0| 7a 5e 33 2b 32 7a 5e 32 | 2d 31 35 7a 2b 31 30 3d |z^3+2z^2|-15z+10=|
|000006c0| 30 2e 5c 5d 0a 62 65 63 | 61 75 73 65 20 24 28 7a |0.\].bec|ause $(z|
|000006d0| 2d 31 29 5e 7b 32 7d 28 | 7a 2b 32 29 28 7a 5e 32 |-1)^{2}(|z+2)(z^2|
|000006e0| 2b 35 29 3d 30 24 5c 5c | 61 6e 73 77 65 72 20 69 |+5)=0$\\|answer i|
|000006f0| 73 20 5c 5b 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |s \[.\be|gin{arra|
|00000700| 79 7d 7b 6c 7d 0a 7a 5f | 31 3d 31 2c 5c 5c 7a 5f |y}{l}.z_|1=1,\\z_|
|00000710| 32 3d 31 2c 5c 5c 7a 5f | 33 3d 2d 32 2c 5c 5c 7a |2=1,\\z_|3=-2,\\z|
|00000720| 5f 34 3d 5c 73 71 72 74 | 7b 2d 35 7d 2c 5c 5c 7a |_4=\sqrt|{-5},\\z|
|00000730| 5f 35 3d 2d 5c 73 71 72 | 74 7b 2d 35 7d 0a 5c 65 |_5=-\sqr|t{-5}.\e|
|00000740| 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 7d 0a 5c 5d 0a 0a 5c 69 |nd{array|}.\]..\i|
|00000750| 74 65 6d 20 53 6f 6c 76 | 65 20 6e 75 6d 65 72 69 |tem Solv|e numeri|
|00000760| 63 61 6c 6c 79 0a 5c 5b | 20 78 5e 33 2d 39 78 5e |cally.\[| x^3-9x^|
|00000770| 32 2b 36 78 2d 31 3d 30 | 2e 20 5c 5d 0a 5c 5b 5c |2+6x-1=0|. \].\[\|
|00000780| 6c 65 66 74 5c 7b 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |left\{\b|egin{arr|
|00000790| 61 79 7d 7b 6c 7d 0a 78 | 5f 31 3d 30 2e 32 38 33 |ay}{l}.x|_1=0.283|
|000007a0| 31 31 38 35 38 32 38 2c | 5c 5c 78 5f 32 3d 30 2e |1185828,|\\x_2=0.|
|000007b0| 34 32 36 30 32 32 30 34 | 37 38 2c 5c 5c 78 5f 33 |42602204|78,\\x_3|
|000007c0| 3d 38 2e 32 39 30 38 35 | 39 33 36 39 2e 5c 65 6e |=8.29085|9369.\en|
|000007d0| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0a 5c 72 69 67 68 74 2e |d{array}|.\right.|
|000007e0| 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 65 | 6d 20 43 6f 6e 73 69 64 |\]..\ite|m Consid|
|000007f0| 65 72 2c 20 5c 5b 28 78 | 2d 31 29 28 78 2d 32 29 |er, \[(x|-1)(x-2)|
|00000800| 28 78 2d 33 29 5c 63 64 | 6f 74 73 28 78 2d 32 30 |(x-3)\cd|ots(x-20|
|00000810| 29 3d 5c 65 70 73 69 6c | 6f 6e 2e 5c 5d 0a 46 69 |)=\epsil|on.\].Fi|
|00000820| 6e 64 20 74 68 65 20 70 | 65 72 74 75 72 62 61 74 |nd the p|erturbat|
|00000830| 69 6f 6e 20 65 78 70 61 | 6e 73 69 6f 6e 20 69 6e |ion expa|nsion in|
|00000840| 20 24 5c 65 70 73 69 6c | 6f 6e 24 20 6f 66 20 74 | $\epsil|on$ of t|
|00000850| 68 65 20 72 6f 6f 74 2c | 0a 5c 5b 78 3d 32 30 2b |he root,|.\[x=20+|
|00000860| 7b 61 5f 31 7d 7b 5c 65 | 70 73 69 6c 6f 6e 7d 2b |{a_1}{\e|psilon}+|
|00000870| 7b 61 5f 32 7d 7b 5c 65 | 70 73 69 6c 6f 6e 7d 5e |{a_2}{\e|psilon}^|
|00000880| 32 2b 5c 63 64 6f 74 73 | 20 2e 5c 5d 0a 5c 65 6e |2+\cdots| .\].\en|
|00000890| 64 7b 65 6e 75 6d 65 72 | 61 74 65 7d 0a 0a 5c 73 |d{enumer|ate}..\s|
|000008a0| 75 62 73 65 63 74 69 6f | 6e 7b 49 6e 64 65 66 69 |ubsectio|n{Indefi|
|000008b0| 6e 69 74 65 20 49 6e 74 | 65 67 72 61 74 69 6f 6e |nite Int|egration|
|000008c0| 2e 7d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 65 6e 75 6d 65 72 |.}.\begi|n{enumer|
|000008d0| 61 74 65 7d 0a 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 45 76 61 6c |ate}..\i|tem Eval|
|000008e0| 75 61 74 65 20 5c 5b 5c | 69 6e 74 5c 66 72 61 63 |uate \[\|int\frac|
|000008f0| 7b 64 78 7d 7b 28 31 2b | 5c 73 71 72 74 7b 78 7d |{dx}{(1+|\sqrt{x}|
|00000900| 29 5c 73 71 72 74 7b 78 | 2d 78 5e 32 7d 7d 0a 3d |)\sqrt{x|-x^2}}.=|
|00000910| 2d 32 5c 73 71 72 74 7b | 5c 66 72 61 63 7b 31 2d |-2\sqrt{|\frac{1-|
|00000920| 5c 73 71 72 74 7b 78 7d | 7d 7b 31 2b 5c 73 71 72 |\sqrt{x}|}{1+\sqr|
|00000930| 74 7b 78 7d 7d 7d 5c 2c | 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 |t{x}}}\,|.\]..\it|
|00000940| 65 6d 20 45 76 61 6c 75 | 61 74 65 20 5c 5b 5c 69 |em Evalu|ate \[\i|
|00000950| 6e 74 5c 73 71 72 74 7b | 5c 73 71 72 74 7b 28 61 |nt\sqrt{|\sqrt{(a|
|00000960| 78 2b 62 29 7d 2b 63 7d | 5c 2c 5c 2c 64 78 0a 3d |x+b)}+c}|\,\,dx.=|
|00000970| 5c 66 72 61 63 7b 34 7d | 7b 31 35 61 7d 28 33 5c |\frac{4}|{15a}(3\|
|00000980| 73 71 72 74 7b 61 78 2b | 62 7d 2d 32 63 29 28 5c |sqrt{ax+|b}-2c)(\|
|00000990| 73 71 72 74 7b 61 78 2b | 62 7d 2b 63 29 5e 7b 5c |sqrt{ax+|b}+c)^{\|
|000009a0| 66 72 61 63 7b 33 7d 7b | 32 7d 7d 5c 2c 2e 5c 5d |frac{3}{|2}}\,.\]|
|000009b0| 0a 0a 5c 69 74 65 6d 20 | 45 76 61 6c 75 61 74 65 |..\item |Evaluate|
|000009c0| 20 5c 5b 5c 69 6e 74 5c | 66 72 61 63 7b 64 78 7d | \[\int\|frac{dx}|
|000009d0| 7b 5c 73 71 72 74 7b 61 | 5c 73 71 72 74 7b 78 7d |{\sqrt{a|\sqrt{x}|
|000009e0| 2b 62 7d 7d 0a 3d 5c 66 | 72 61 63 7b 34 28 61 5c |+b}}.=\f|rac{4(a\|
|000009f0| 73 71 72 74 7b 78 7d 2d | 32 62 29 7d 7b 33 61 5e |sqrt{x}-|2b)}{3a^|
|00000a00| 32 7d 5c 73 71 72 74 7b | 61 5c 73 71 72 74 7b 78 |2}\sqrt{|a\sqrt{x|
|00000a10| 7d 2b 62 7d 5c 2c 2e 5c | 5d 0a 0a 5c 69 74 65 6d |}+b}\,.\|]..\item|
|00000a20| 20 45 76 61 6c 75 61 74 | 65 20 5c 5b 5c 69 6e 74 | Evaluat|e \[\int|
|00000a30| 5c 66 72 61 63 7b 64 78 | 7d 7b 5c 73 71 72 74 7b |\frac{dx|}{\sqrt{|
|00000a40| 5c 73 71 72 74 7b 61 78 | 2b 62 7d 2b 63 7d 7d 0a |\sqrt{ax|+b}+c}}.|
|00000a50| 3d 5c 66 72 61 63 7b 34 | 7d 7b 33 61 7d 28 5c 73 |=\frac{4|}{3a}(\s|
|00000a60| 71 72 74 7b 61 78 2b 62 | 7d 2d 32 63 29 5c 73 71 |qrt{ax+b|}-2c)\sq|
|00000a70| 72 74 7b 5c 73 71 72 74 | 7b 61 78 2b 62 7d 2b 63 |rt{\sqrt|{ax+b}+c|
|00000a80| 7d 5c 2c 2e 5c 5d 0a 0a | 5c 69 74 65 6d 20 45 76 |}\,.\]..|\item Ev|
|00000a90| 61 6c 75 61 74 65 20 5c | 5b 5c 69 6e 74 5c 66 72 |aluate \|[\int\fr|
|00000aa0| 61 63 7b 5c 73 71 72 74 | 7b 78 2b 5c 73 71 72 74 |ac{\sqrt|{x+\sqrt|
|00000ab0| 7b 78 5e 32 2b 61 5e 32 | 7d 7d 7d 7b 5c 73 71 72 |{x^2+a^2|}}}{\sqr|
|00000ac0| 74 7b 78 5e 32 2b 61 5e | 32 7d 7d 5c 2c 64 78 0a |t{x^2+a^|2}}\,dx.|
|00000ad0| 3d 32 5c 73 71 72 74 7b | 78 2b 5c 73 71 72 74 7b |=2\sqrt{|x+\sqrt{|
|00000ae0| 78 5e 32 2b 61 5e 32 7d | 7d 5c 3b 5c 3b 5c 3b 5c |x^2+a^2}|}\;\;\;\|
|00000af0| 3b 5b 61 3e 30 5d 20 2e | 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 65 |;[a>0] .|\]..\ite|
|00000b00| 6d 20 45 76 61 6c 75 61 | 74 65 0a 5c 62 65 67 69 |m Evalua|te.\begi|
|00000b10| 6e 7b 65 71 6e 61 72 72 | 61 79 2a 7d 0a 5c 69 6e |n{eqnarr|ay*}.\in|
|00000b20| 74 5c 66 72 61 63 7b 5c | 73 71 72 74 7b 78 2b 5c |t\frac{\|sqrt{x+\|
|00000b30| 73 71 72 74 7b 78 5e 32 | 2b 61 5e 32 7d 7d 7d 7b |sqrt{x^2|+a^2}}}{|
|00000b40| 78 7d 5c 2c 64 78 20 26 | 3d 26 32 5c 73 71 72 74 |x}\,dx &|=&2\sqrt|
|00000b50| 7b 78 2b 5c 73 71 72 74 | 7b 78 5e 32 2b 61 5e 32 |{x+\sqrt|{x^2+a^2|
|00000b60| 7d 7d 5c 5c 0a 26 2b 26 | 5c 73 71 72 74 7b 61 7d |}}\\.&+&|\sqrt{a}|
|00000b70| 5c 6c 6f 67 7b 7c 5c 66 | 72 61 63 7b 5c 73 71 72 |\log{|\f|rac{\sqr|
|00000b80| 74 7b 78 2b 5c 73 71 72 | 74 7b 78 5e 32 2b 61 5e |t{x+\sqr|t{x^2+a^|
|00000b90| 32 7d 7d 2d 5c 73 71 72 | 74 7b 61 7d 7d 0a 7b 5c |2}}-\sqr|t{a}}.{\|
|00000ba0| 73 71 72 74 7b 78 2b 5c | 73 71 72 74 7b 78 5e 32 |sqrt{x+\|sqrt{x^2|
|00000bb0| 2b 61 5e 32 7d 7d 2b 5c | 73 71 72 74 7b 61 7d 7d |+a^2}}+\|sqrt{a}}|
|00000bc0| 7d 7c 20 5c 5c 0a 26 2d | 26 32 5c 73 71 72 74 7b |}| \\.&-|&2\sqrt{|
|00000bd0| 61 7d 5c 61 72 63 74 61 | 6e 7b 28 5c 73 71 72 74 |a}\arcta|n{(\sqrt|
|00000be0| 7b 5c 66 72 61 63 7b 78 | 2b 5c 73 71 72 74 7b 78 |{\frac{x|+\sqrt{x|
|00000bf0| 5e 32 2b 61 5e 32 7d 7d | 7b 61 7d 7d 29 7d 5c 3b |^2+a^2}}|{a}})}\;|
|00000c00| 5c 3b 5c 3b 5c 3b 5b 61 | 3e 30 5d 5c 2c 2e 0a 5c |\;\;\;[a|>0]\,..\|
|00000c10| 65 6e 64 7b 65 71 6e 61 | 72 72 61 79 2a 7d 0a 0a |end{eqna|rray*}..|
|00000c20| 5c 69 74 65 6d 20 45 76 | 61 6c 75 61 74 65 20 5c |\item Ev|aluate \|
|00000c30| 5b 0a 5c 69 6e 74 5c 66 | 72 61 63 7b 78 5e 7b 28 |[.\int\f|rac{x^{(|
|00000c40| 70 2f 71 29 2d 31 7d 7d | 7b 28 31 2b 78 5e 70 29 |p/q)-1}}|{(1+x^p)|
|00000c50| 5e 7b 28 31 2d 5c 66 72 | 61 63 7b 31 7d 7b 71 7d |^{(1-\fr|ac{1}{q}|
|00000c60| 29 7d 5b 28 31 2b 78 5e | 70 29 5e 7b 31 2f 71 7d |)}[(1+x^|p)^{1/q}|
|00000c70| 2d 78 5e 7b 70 2f 71 7d | 5d 5e 32 7d 0a 3d 5c 66 |-x^{p/q}|]^2}.=\f|
|00000c80| 72 61 63 7b 71 7d 7b 32 | 70 7d 5c 2c 5c 66 72 61 |rac{q}{2|p}\,\fra|
|00000c90| 63 7b 28 31 2b 78 5e 70 | 29 5e 7b 31 2f 71 7d 2b |c{(1+x^p|)^{1/q}+|
|00000ca0| 78 5e 7b 70 2f 71 7d 7d | 7b 28 31 2b 78 5e 70 29 |x^{p/q}}|{(1+x^p)|
|00000cb0| 5e 7b 31 2f 71 7d 2d 78 | 5e 7b 70 2f 71 7d 7d 5c |^{1/q}-x|^{p/q}}\|
|00000cc0| 2c 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 45 76 61 6c |,.\]..\i|tem Eval|
|00000cd0| 75 61 74 65 20 0a 5c 5b | 5c 69 6e 74 5c 66 72 61 |uate .\[|\int\fra|
|00000ce0| 63 7b 64 78 7d 7b 28 31 | 2b 78 5e 7b 32 6e 7d 29 |c{dx}{(1|+x^{2n})|
|00000cf0| 5c 73 71 72 74 7b 28 31 | 2b 78 5e 7b 32 6e 7d 29 |\sqrt{(1|+x^{2n})|
|00000d00| 5e 7b 31 2f 6e 7d 2d 78 | 5e 32 7d 7d 0a 3d 5c 61 |^{1/n}-x|^2}}.=\a|
|00000d10| 72 63 74 61 6e 7b 28 5c | 66 72 61 63 7b 78 7d 7b |rctan{(\|frac{x}{|
|00000d20| 5c 73 71 72 74 7b 28 31 | 2b 78 5e 7b 32 6e 7d 29 |\sqrt{(1|+x^{2n})|
|00000d30| 5e 7b 31 2f 6e 7d 2d 78 | 5e 32 7d 7d 29 7d 5c 2c |^{1/n}-x|^2}})}\,|
|00000d40| 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 | 65 6d 20 45 76 61 6c 75 |.\]..\it|em Evalu|
|00000d50| 61 74 65 20 0a 5c 5b 5c | 69 6e 74 5c 66 72 61 63 |ate .\[\|int\frac|
|00000d60| 7b 78 5e 7b 28 6e 2f 32 | 29 2d 31 7d 7d 7b 28 31 |{x^{(n/2|)-1}}{(1|
|00000d70| 2b 78 5e 7b 32 6e 7d 29 | 5c 73 71 72 74 7b 5c 73 |+x^{2n})|\sqrt{\s|
|00000d80| 71 72 74 7b 31 2b 78 5e | 7b 32 6e 7d 7d 2d 78 5e |qrt{1+x^|{2n}}-x^|
|00000d90| 6e 7d 7d 5c 2c 64 78 0a | 3d 5c 66 72 61 63 7b 32 |n}}\,dx.|=\frac{2|
|00000da0| 7d 7b 6e 7d 5c 61 72 63 | 74 61 6e 7b 28 5c 66 72 |}{n}\arc|tan{(\fr|
|00000db0| 61 63 7b 78 5e 7b 6e 2f | 32 7d 7d 7b 5c 73 71 72 |ac{x^{n/|2}}{\sqr|
|00000dc0| 74 7b 5c 73 71 72 74 7b | 31 2b 78 5e 7b 32 6e 7d |t{\sqrt{|1+x^{2n}|
|00000dd0| 7d 2d 78 5e 6e 7d 7d 29 | 7d 5c 2c 2e 5c 5d 0a 0a |}-x^n}})|}\,.\]..|
|00000de0| 5c 69 74 65 6d 20 45 76 | 61 6c 75 61 74 65 20 5c |\item Ev|aluate \|
|00000df0| 5b 0a 5c 69 6e 74 5c 66 | 72 61 63 7b 28 5c 73 71 |[.\int\f|rac{(\sq|
|00000e00| 72 74 7b 78 7d 2d 5c 73 | 71 72 74 7b 61 7d 29 5c |rt{x}-\s|qrt{a})\|
|00000e10| 73 71 72 74 7b 5c 73 71 | 72 74 7b 78 7d 2b 5c 73 |sqrt{\sq|rt{x}+\s|
|00000e20| 71 72 74 7b 78 2d 61 7d | 7d 7d 7b 5c 73 71 72 74 |qrt{x-a}|}}{\sqrt|
|00000e30| 7b 78 7d 28 78 2d 61 29 | 5e 7b 33 2f 32 7d 7d 0a |{x}(x-a)|^{3/2}}.|
|00000e40| 5c 2c 64 78 3d 5c 66 72 | 61 63 7b 32 7d 7b 61 5e |\,dx=\fr|ac{2}{a^|
|00000e50| 7b 31 2f 34 7d 7d 5b 2d | 5c 73 71 72 74 7b 5c 66 |{1/4}}[-|\sqrt{\f|
|00000e60| 72 61 63 7b 32 5c 73 71 | 72 74 7b 61 7d 7d 7b 5c |rac{2\sq|rt{a}}{\|
|00000e70| 73 71 72 74 7b 78 7d 2b | 5c 73 71 72 74 7b 61 7d |sqrt{x}+|\sqrt{a}|
|00000e80| 7d 7d 0a 2b 5c 61 72 63 | 73 69 6e 7b 28 5c 66 72 |}}.+\arc|sin{(\fr|
|00000e90| 61 63 7b 5c 73 71 72 74 | 7b 78 7d 2d 5c 73 71 72 |ac{\sqrt|{x}-\sqr|
|00000ea0| 74 7b 61 7d 7d 7b 5c 73 | 71 72 74 7b 78 2d 61 7d |t{a}}{\s|qrt{x-a}|
|00000eb0| 7d 29 7d 5d 5c 3b 5c 3b | 5c 3b 5c 3b 5b 61 3e 30 |})}]\;\;|\;\;[a>0|
|00000ec0| 5d 5c 2c 2e 5c 5d 0a 5c | 65 6e 64 7b 65 6e 75 6d |]\,.\].\|end{enum|
|00000ed0| 65 72 61 74 65 7d 0a 0a | 5c 73 75 62 73 65 63 74 |erate}..|\subsect|
|00000ee0| 69 6f 6e 7b 44 65 66 69 | 6e 69 74 65 20 49 6e 74 |ion{Defi|nite Int|
|00000ef0| 65 67 72 61 74 69 6f 6e | 2e 7d 0a 5c 62 65 67 69 |egration|.}.\begi|
|00000f00| 6e 7b 65 6e 75 6d 65 72 | 61 74 65 7d 0a 0a 5c 69 |n{enumer|ate}..\i|
|00000f10| 74 65 6d 20 45 76 61 6c | 75 61 74 65 20 5c 5b 5c |tem Eval|uate \[\|
|00000f20| 69 6e 74 5f 30 5e 7b 5c | 69 6e 66 74 79 7d 20 5c |int_0^{\|infty} \|
|00000f30| 66 72 61 63 7b 78 7d 7b | 31 2b 78 5e 32 7d 5c 73 |frac{x}{|1+x^2}\s|
|00000f40| 69 6e 7b 77 78 7d 5c 2c | 64 78 0a 3d 5c 66 72 61 |in{wx}\,|dx.=\fra|
|00000f50| 63 7b 5c 70 69 7d 7b 32 | 7d 65 5e 7b 2d 77 7d 5c |c{\pi}{2|}e^{-w}\|
|00000f60| 2c 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 45 76 61 6c |,.\]..\i|tem Eval|
|00000f70| 75 61 74 65 20 5c 5b 0a | 5c 69 6e 74 5f 30 5e 7b |uate \[.|\int_0^{|
|00000f80| 5c 69 6e 66 74 79 7d 20 | 5c 66 72 61 63 7b 5c 73 |\infty} |\frac{\s|
|00000f90| 69 6e 5e 32 7b 28 5c 66 | 72 61 63 7b 78 7d 7b 32 |in^2{(\f|rac{x}{2|
|00000fa0| 7d 29 7d 7d 7b 78 7d 5c | 2c 5c 73 69 6e 7b 77 78 |})}}{x}\|,\sin{wx|
|00000fb0| 7d 5c 2c 64 78 0a 3d 5c | 6c 65 66 74 20 5c 7b 5c |}\,dx.=\|left \{\|
|00000fc0| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 6c 6c 6c |begin{ar|ray}{lll|
|00000fd0| 7d 0a 5c 66 72 61 63 7b | 5c 70 69 7d 7b 34 7d 20 |}.\frac{|\pi}{4} |
|00000fe0| 26 3b 26 20 77 20 3c 20 | 31 2c 5c 5c 0a 5c 66 72 |&;& w < |1,\\.\fr|
|00000ff0| 61 63 7b 5c 70 69 7d 7b | 38 7d 20 26 3b 26 20 77 |ac{\pi}{|8} &;& w|
|00001000| 20 3d 20 31 2c 5c 5c 0a | 30 20 20 20 20 20 20 20 | = 1,\\.|0       |
|00001010| 20 20 20 20 20 20 26 3b | 26 20 77 20 3e 20 31 2e |      &;|& w > 1.|
|00001020| 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 | 72 61 79 7d 0a 5c 72 69 |.\end{ar|ray}.\ri|
|00001030| 67 68 74 2e 5c 5d 0a 0a | 5c 69 74 65 6d 20 45 76 |ght.\]..|\item Ev|
|00001040| 61 6c 75 61 74 65 20 0a | 5c 5b 5c 69 6e 74 5f 7b |aluate .|\[\int_{|
|00001050| 30 7d 5e 7b 31 7d 5c 2c | 5c 69 6e 74 5f 7b 30 7d |0}^{1}\,|\int_{0}|
|00001060| 5e 7b 31 7d 5c 66 72 61 | 63 7b 64 78 5c 2c 64 79 |^{1}\fra|c{dx\,dy|
|00001070| 7d 7b 31 2d 78 79 7d 3d | 5c 66 72 61 63 7b 7b 5c |}{1-xy}=|\frac{{\|
|00001080| 70 69 7d 5e 32 7d 7b 36 | 7d 5c 2c 2e 5c 5d 0a 0a |pi}^2}{6|}\,.\]..|
|00001090| 5c 69 74 65 6d 20 45 76 | 61 6c 75 61 74 65 20 0a |\item Ev|aluate .|
|000010a0| 5c 5b 5c 69 6e 74 5f 7b | 30 7d 5e 7b 5c 66 72 61 |\[\int_{|0}^{\fra|
|000010b0| 63 7b 5c 70 69 7d 7b 32 | 7d 7d 5c 66 72 61 63 7b |c{\pi}{2|}}\frac{|
|000010c0| 78 5e 32 5c 2c 64 78 7d | 7b 5c 73 69 6e 5e 7b 32 |x^2\,dx}|{\sin^{2|
|000010d0| 7d 7b 78 7d 7d 3d 5c 70 | 69 5c 6c 6e 7b 32 7d 5c |}{x}}=\p|i\ln{2}\|
|000010e0| 2c 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 45 76 61 6c |,.\]..\i|tem Eval|
|000010f0| 75 61 74 65 20 0a 5c 5b | 5c 69 6e 74 5f 7b 30 7d |uate .\[|\int_{0}|
|00001100| 5e 7b 5c 66 72 61 63 7b | 5c 70 69 7d 7b 32 7d 7d |^{\frac{|\pi}{2}}|
|00001110| 5c 66 72 61 63 7b 78 5e | 33 5c 63 6f 73 7b 78 7d |\frac{x^|3\cos{x}|
|00001120| 7d 7b 5c 73 69 6e 5e 33 | 7b 78 7d 7d 5c 2c 64 78 |}{\sin^3|{x}}\,dx|
|00001130| 0a 3d 2d 5c 66 72 61 63 | 7b 7b 5c 70 69 7d 5e 33 |.=-\frac|{{\pi}^3|
|00001140| 7d 7b 31 36 7d 2b 5c 66 | 72 61 63 7b 33 7d 7b 32 |}{16}+\f|rac{3}{2|
|00001150| 7d 5c 70 69 5c 6c 6e 7b | 32 7d 5c 2c 2e 5c 5d 0a |}\pi\ln{|2}\,.\].|
|00001160| 0a 5c 69 74 65 6d 20 45 | 76 61 6c 75 61 74 65 20 |.\item E|valuate |
|00001170| 0a 5c 5b 5c 69 6e 74 5f | 7b 30 7d 5e 7b 31 7d 5c |.\[\int_|{0}^{1}\|
|00001180| 61 72 63 73 69 6e 7b 78 | 7d 5c 63 64 6f 74 5c 6c |arcsin{x|}\cdot\l|
|00001190| 6e 7b 78 7d 5c 2c 64 78 | 3d 32 2d 5c 6c 6e 7b 32 |n{x}\,dx|=2-\ln{2|
|000011a0| 7d 2d 5c 66 72 61 63 7b | 5c 70 69 7d 7b 32 7d 5c |}-\frac{|\pi}{2}\|
|000011b0| 2c 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 45 76 61 6c |,.\]..\i|tem Eval|
|000011c0| 75 61 74 65 20 0a 5c 5b | 5c 69 6e 74 5f 7b 30 7d |uate .\[|\int_{0}|
|000011d0| 5e 7b 31 7d 5c 61 72 63 | 63 6f 73 7b 78 7d 5c 63 |^{1}\arc|cos{x}\c|
|000011e0| 64 6f 74 5c 6c 6e 7b 78 | 7d 5c 2c 64 78 3d 5c 6c |dot\ln{x|}\,dx=\l|
|000011f0| 6e 7b 32 7d 2d 32 5c 2c | 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 |n{2}-2\,|.\]..\it|
|00001200| 65 6d 20 45 76 61 6c 75 | 61 74 65 20 0a 5c 5b 5c |em Evalu|ate .\[\|
|00001210| 69 6e 74 5f 7b 30 7d 5e | 7b 5c 69 6e 66 74 79 7d |int_{0}^|{\infty}|
|00001220| 5c 66 72 61 63 7b 78 5c | 74 61 6e 28 61 78 29 7d |\frac{x\|tan(ax)}|
|00001230| 7b 78 5e 32 2b 62 5e 32 | 7d 5c 2c 64 78 0a 3d 5c |{x^2+b^2|}\,dx.=\|
|00001240| 66 72 61 63 7b 5c 70 69 | 7d 7b 65 5e 7b 32 61 62 |frac{\pi|}{e^{2ab|
|00001250| 7d 2b 31 7d 5c 3b 5c 3b | 2c 5c 3b 5c 3b 5b 61 3e |}+1}\;\;|,\;\;[a>|
|00001260| 30 2c 62 3e 30 5d 5c 2c | 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 |0,b>0]\,|.\]..\it|
|00001270| 65 6d 20 45 76 61 6c 75 | 61 74 65 20 0a 5c 5b 5c |em Evalu|ate .\[\|
|00001280| 69 6e 74 5f 30 5e 7b 5c | 69 6e 66 74 79 7d 5c 66 |int_0^{\|infty}\f|
|00001290| 72 61 63 7b 78 5c 63 6f | 74 7b 28 61 78 29 7d 7d |rac{x\co|t{(ax)}}|
|000012a0| 7b 78 5e 32 2b 62 5e 32 | 7d 5c 2c 64 78 0a 3d 5c |{x^2+b^2|}\,dx.=\|
|000012b0| 66 72 61 63 7b 5c 70 69 | 7d 7b 65 5e 7b 32 61 62 |frac{\pi|}{e^{2ab|
|000012c0| 7d 2d 31 7d 5c 3b 5c 3b | 2c 5c 3b 5c 3b 5b 61 3e |}-1}\;\;|,\;\;[a>|
|000012d0| 30 2c 62 3e 30 5d 5c 2c | 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 |0,b>0]\,|.\]..\it|
|000012e0| 65 6d 20 45 76 61 6c 75 | 61 74 65 20 0a 5c 5b 5c |em Evalu|ate .\[\|
|000012f0| 69 6e 74 5f 30 5e 7b 5c | 69 6e 66 74 79 7d 5c 66 |int_0^{\|infty}\f|
|00001300| 72 61 63 7b 5c 6c 6e 7b | 78 7d 7d 7b 78 2b 61 7d |rac{\ln{|x}}{x+a}|
|00001310| 5c 2c 5c 66 72 61 63 7b | 64 78 7d 7b 78 2d 31 7d |\,\frac{|dx}{x-1}|
|00001320| 0a 3d 5c 66 72 61 63 7b | 7b 5c 70 69 7d 5e 32 2b |.=\frac{|{\pi}^2+|
|00001330| 28 5c 6c 6e 7b 61 7d 29 | 5e 32 7d 7b 32 28 61 2b |(\ln{a})|^2}{2(a+|
|00001340| 31 29 7d 5c 3b 5c 3b 2c | 5c 3b 5c 3b 5b 61 3e 30 |1)}\;\;,|\;\;[a>0|
|00001350| 5d 5c 2c 2e 5c 5d 0a 0a | 5c 69 74 65 6d 20 45 76 |]\,.\]..|\item Ev|
|00001360| 61 6c 75 61 74 65 20 0a | 5c 5b 5c 69 6e 74 5f 30 |aluate .|\[\int_0|
|00001370| 5e 7b 5c 69 6e 66 74 79 | 7d 5c 6c 6e 7b 28 5c 66 |^{\infty|}\ln{(\f|
|00001380| 72 61 63 7b 61 5e 32 2b | 62 5e 32 78 5e 32 7d 7b |rac{a^2+|b^2x^2}{|
|00001390| 78 5e 32 7d 29 7d 5c 63 | 64 6f 74 5c 66 72 61 63 |x^2})}\c|dot\frac|
|000013a0| 7b 64 78 7d 7b 63 5e 32 | 2b 67 5e 32 78 5e 32 7d |{dx}{c^2|+g^2x^2}|
|000013b0| 0a 3d 5c 66 72 61 63 7b | 5c 70 69 7d 7b 63 67 7d |.=\frac{|\pi}{cg}|
|000013c0| 5c 6c 6e 7b 28 5c 66 72 | 61 63 7b 61 67 2b 62 63 |\ln{(\fr|ac{ag+bc|
|000013d0| 7d 7b 63 7d 29 7d 5c 3b | 5c 3b 2c 5c 3b 5c 3b 5b |}{c})}\;|\;,\;\;[|
|000013e0| 61 2c 62 2c 63 2c 67 3e | 30 5d 5c 2c 2e 5c 5d 0a |a,b,c,g>|0]\,.\].|
|000013f0| 0a 5c 69 74 65 6d 20 45 | 76 61 6c 75 61 74 65 20 |.\item E|valuate |
|00001400| 0a 5c 5b 5c 69 6e 74 5f | 7b 30 7d 5e 7b 5c 69 6e |.\[\int_|{0}^{\in|
|00001410| 66 74 79 7d 5c 66 72 61 | 63 7b 78 5e 7b 32 7d 65 |fty}\fra|c{x^{2}e|
|00001420| 5e 7b 78 7d 5c 2c 64 78 | 7d 7b 5c 73 71 72 74 7b |^{x}\,dx|}{\sqrt{|
|00001430| 28 65 5e 7b 78 7d 2d 31 | 29 5e 33 7d 7d 3d 38 5c |(e^{x}-1|)^3}}=8\|
|00001440| 70 69 5c 6c 6e 7b 32 7d | 5c 2c 2e 5c 5d 0a 0a 5c |pi\ln{2}|\,.\]..\|
|00001450| 69 74 65 6d 20 45 76 61 | 6c 75 61 74 65 20 0a 5c |item Eva|luate .\|
|00001460| 5b 5c 69 6e 74 5f 7b 30 | 7d 5e 7b 5c 69 6e 66 74 |[\int_{0|}^{\inft|
|00001470| 79 7d 5c 66 72 61 63 7b | 78 5e 7b 33 7d 65 5e 7b |y}\frac{|x^{3}e^{|
|00001480| 78 7d 5c 2c 64 78 7d 7b | 5c 73 71 72 74 7b 28 65 |x}\,dx}{|\sqrt{(e|
|00001490| 5e 78 2d 31 29 5e 33 7d | 7d 0a 3d 32 34 5c 70 69 |^x-1)^3}|}.=24\pi|
|000014a0| 5b 28 5c 6c 6e 7b 32 7d | 29 5e 32 2b 5c 66 72 61 |[(\ln{2}|)^2+\fra|
|000014b0| 63 7b 7b 5c 70 69 7d 5e | 32 7d 7b 31 32 7d 5d 5c |c{{\pi}^|2}{12}]\|
|000014c0| 2c 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 45 76 61 6c |,.\]..\i|tem Eval|
|000014d0| 75 61 74 65 20 0a 5c 5b | 5c 69 6e 74 5f 7b 30 7d |uate .\[|\int_{0}|
|000014e0| 5e 7b 5c 69 6e 66 74 79 | 7d 5c 66 72 61 63 7b 78 |^{\infty|}\frac{x|
|000014f0| 5e 32 5c 2c 64 78 7d 7b | 5c 63 6f 73 68 7b 78 7d |^2\,dx}{|\cosh{x}|
|00001500| 7d 3d 5c 66 72 61 63 7b | 7b 5c 70 69 7d 5e 33 7d |}=\frac{|{\pi}^3}|
|00001510| 7b 38 7d 5c 2c 2e 5c 5d | 0a 0a 5c 69 74 65 6d 20 |{8}\,.\]|..\item |
|00001520| 45 76 61 6c 75 61 74 65 | 20 0a 5c 5b 5c 69 6e 74 |Evaluate| .\[\int|
|00001530| 5f 30 5e 7b 5c 69 6e 66 | 74 79 7d 5c 66 72 61 63 |_0^{\inf|ty}\frac|
|00001540| 7b 64 78 7d 7b 28 78 2b | 5c 73 71 72 74 7b 31 2b |{dx}{(x+|\sqrt{1+|
|00001550| 78 5e 32 7d 29 5e 7b 5c | 61 6c 70 68 61 7d 7d 0a |x^2})^{\|alpha}}.|
|00001560| 3d 5c 66 72 61 63 7b 5c | 61 6c 70 68 61 7d 7b 7b |=\frac{\|alpha}{{|
|00001570| 5c 61 6c 70 68 61 7d 5e | 32 2d 31 7d 5c 2c 2e 5c |\alpha}^|2-1}\,.\|
|00001580| 5d 0a 5c 65 6e 64 7b 65 | 6e 75 6d 65 72 61 74 65 |].\end{e|numerate|
|00001590| 7d 0a 0a 5c 73 75 62 73 | 65 63 74 69 6f 6e 7b 49 |}..\subs|ection{I|
|000015a0| 6e 66 69 6e 69 74 65 20 | 53 75 6d 6d 61 74 69 6f |nfinite |Summatio|
|000015b0| 6e 2e 7d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 65 6e 75 6d 65 |n.}.\beg|in{enume|
|000015c0| 72 61 74 65 7d 0a 0a 5c | 69 74 65 6d 20 45 76 61 |rate}..\|item Eva|
|000015d0| 6c 75 61 74 65 20 0a 5c | 5b 5c 73 75 6d 5f 7b 6e |luate .\|[\sum_{n|
|000015e0| 3d 31 7d 5e 7b 5c 69 6e | 66 74 79 7d 5c 66 72 61 |=1}^{\in|fty}\fra|
|000015f0| 63 7b 6e 5e 33 7d 7b 6e | 21 7d 3d 35 65 5c 2c 2e |c{n^3}{n|!}=5e\,.|
|00001600| 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 65 | 6d 20 45 76 61 6c 75 61 |\]..\ite|m Evalua|
|00001610| 74 65 20 0a 5c 5b 5c 73 | 75 6d 5f 7b 6e 3d 31 7d |te .\[\s|um_{n=1}|
|00001620| 5e 7b 5c 69 6e 66 74 79 | 7d 5c 66 72 61 63 7b 28 |^{\infty|}\frac{(|
|00001630| 6e 21 29 5e 32 7d 7b 28 | 32 6e 2b 31 29 21 7d 3d |n!)^2}{(|2n+1)!}=|
|00001640| 5c 66 72 61 63 7b 32 5c | 70 69 7d 7b 33 5c 73 71 |\frac{2\|pi}{3\sq|
|00001650| 72 74 7b 33 7d 7d 5c 2c | 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 |rt{3}}\,|.\]..\it|
|00001660| 65 6d 20 45 76 61 6c 75 | 61 74 65 20 0a 5c 5b 5c |em Evalu|ate .\[\|
|00001670| 73 75 6d 5f 7b 6e 3d 31 | 7d 5e 7b 5c 69 6e 66 74 |sum_{n=1|}^{\inft|
|00001680| 79 7d 5c 66 72 61 63 7b | 31 7d 7b 6e 5e 32 28 6e |y}\frac{|1}{n^2(n|
|00001690| 2b 31 29 7d 3d 5c 66 72 | 61 63 7b 7b 5c 70 69 7d |+1)}=\fr|ac{{\pi}|
|000016a0| 5e 32 7d 7b 36 7d 2d 31 | 5c 2c 2e 5c 5d 0a 0a 5c |^2}{6}-1|\,.\]..\|
|000016b0| 69 74 65 6d 20 45 76 61 | 6c 75 61 74 65 20 0a 5c |item Eva|luate .\|
|000016c0| 5b 5c 73 75 6d 5f 7b 6e | 3d 31 7d 5e 7b 5c 69 6e |[\sum_{n|=1}^{\in|
|000016d0| 66 74 79 7d 5c 66 72 61 | 63 7b 6e 7d 7b 28 34 6e |fty}\fra|c{n}{(4n|
|000016e0| 5e 32 2d 31 29 5e 32 7d | 3d 5c 66 72 61 63 7b 31 |^2-1)^2}|=\frac{1|
|000016f0| 7d 7b 38 7d 5c 2c 2e 5c | 5d 0a 0a 5c 69 74 65 6d |}{8}\,.\|]..\item|
|00001700| 20 45 76 61 6c 75 61 74 | 65 20 0a 5c 5b 5c 73 75 | Evaluat|e .\[\su|
|00001710| 6d 5f 7b 6e 3d 31 7d 5e | 7b 5c 69 6e 66 74 79 7d |m_{n=1}^|{\infty}|
|00001720| 5c 66 72 61 63 7b 31 7d | 7b 6e 5e 33 28 6e 2b 31 |\frac{1}|{n^3(n+1|
|00001730| 29 5e 33 7d 3d 31 30 2d | 7b 5c 70 69 7d 5e 32 5c |)^3}=10-|{\pi}^2\|
|00001740| 2c 2e 5c 5d 0a 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 45 76 61 6c |,.\]..\i|tem Eval|
|00001750| 75 61 74 65 20 0a 5c 5b | 5c 73 75 6d 5f 7b 6e 3d |uate .\[|\sum_{n=|
|00001760| 31 7d 5e 7b 5c 69 6e 66 | 74 79 7d 5c 66 72 61 63 |1}^{\inf|ty}\frac|
|00001770| 7b 31 7d 7b 28 33 6e 2b | 31 29 28 33 6e 2b 34 29 |{1}{(3n+|1)(3n+4)|
|00001780| 7d 3d 5c 66 72 61 63 7b | 31 7d 7b 33 7d 5c 2c 2e |}=\frac{|1}{3}\,.|
|00001790| 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 65 | 6d 20 45 76 61 6c 75 61 |\]..\ite|m Evalua|
|000017a0| 74 65 20 0a 5c 5b 5c 73 | 75 6d 5f 7b 6e 3d 31 7d |te .\[\s|um_{n=1}|
|000017b0| 5e 7b 5c 69 6e 66 74 79 | 7d 5c 66 72 61 63 7b 31 |^{\infty|}\frac{1|
|000017c0| 7d 7b 6e 5e 32 2b 61 5e | 32 7d 0a 3d 2d 5c 66 72 |}{n^2+a^|2}.=-\fr|
|000017d0| 61 63 7b 31 7d 7b 32 61 | 5e 32 7d 2b 5c 66 72 61 |ac{1}{2a|^2}+\fra|
|000017e0| 63 7b 5c 70 69 7d 7b 32 | 61 7d 5c 63 6f 74 68 7b |c{\pi}{2|a}\coth{|
|000017f0| 61 5c 70 69 7d 5c 2c 2e | 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 65 |a\pi}\,.|\]..\ite|
|00001800| 6d 20 45 76 61 6c 75 61 | 74 65 20 0a 5c 5b 5c 73 |m Evalua|te .\[\s|
|00001810| 75 6d 5f 7b 6e 3d 31 7d | 5e 7b 5c 69 6e 66 74 79 |um_{n=1}|^{\infty|
|00001820| 7d 5c 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 7b 6e 5e 32 7d 7b |}\frac{1|}{{n^2}{|
|00001830| 32 5e 6e 7d 7d 0a 3d 5c | 66 72 61 63 7b 5c 70 69 |2^n}}.=\|frac{\pi|
|00001840| 5e 32 7d 7b 31 32 7d 2d | 5c 66 72 61 63 7b 31 7d |^2}{12}-|\frac{1}|
|00001850| 7b 32 7d 28 5c 6c 6f 67 | 7b 32 7d 29 5e 32 5c 2c |{2}(\log|{2})^2\,|
|00001860| 2e 5c 5d 0a 0a 5c 65 6e | 64 7b 65 6e 75 6d 65 72 |.\]..\en|d{enumer|
|00001870| 61 74 65 7d 0a 0a 5c 73 | 75 62 73 65 63 74 69 6f |ate}..\s|ubsectio|
|00001880| 6e 7b 52 65 73 6f 6c 76 | 65 6e 74 2e 7d 0a 5c 62 |n{Resolv|ent.}.\b|
|00001890| 65 67 69 6e 7b 65 6e 75 | 6d 65 72 61 74 65 7d 0a |egin{enu|merate}.|
|000018a0| 5c 69 74 65 6d 0a 4c 65 | 74 20 24 78 5e 34 2b 61 |\item.Le|t $x^4+a|
|000018b0| 5f 31 78 5e 33 2b 61 5f | 32 78 5e 32 2b 61 5f 33 |_1x^3+a_|2x^2+a_3|
|000018c0| 78 2b 61 5f 34 0a 3d 28 | 78 5e 32 2b 5c 61 6c 70 |x+a_4.=(|x^2+\alp|
|000018d0| 68 61 5f 31 78 2b 5c 61 | 6c 70 68 61 5f 32 29 5e |ha_1x+\a|lpha_2)^|
|000018e0| 32 2d 5c 6c 61 6d 62 64 | 61 28 78 2b 5c 62 65 74 |2-\lambd|a(x+\bet|
|000018f0| 61 5f 31 29 5e 32 5c 2c | 2e 24 0a 0a 49 66 20 77 |a_1)^2\,|.$..If w|
|00001900| 65 20 65 71 75 61 74 65 | 20 74 68 65 20 63 6f 65 |e equate| the coe|
|00001910| 66 66 69 63 69 65 6e 74 | 20 6f 66 20 74 68 65 20 |fficient| of the |
|00001920| 62 6f 74 68 20 68 61 6e | 64 20 73 69 64 65 2c 0a |both han|d side,.|
|00001930| 74 68 65 20 73 69 6d 75 | 6c 74 61 6e 65 6f 75 73 |the simu|ltaneous|
|00001940| 20 61 6c 67 65 62 72 61 | 69 63 20 72 65 6c 61 74 | algebra|ic relat|
|00001950| 69 6f 6e 73 20 62 65 20 | 6f 62 74 61 69 6e 65 64 |ions be |obtained|
|00001960| 3a 0a 5c 5b 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 61 72 72 61 79 |:.\[\beg|in{array|
|00001970| 7d 7b 6c 6c 6c 7d 0a 78 | 5e 34 26 3a 26 31 3d 31 |}{lll}.x|^4&:&1=1|
|00001980| 5c 5c 0a 78 5e 33 26 3a | 26 61 5f 31 3d 32 7b 5c |\\.x^3&:|&a_1=2{\|
|00001990| 61 6c 70 68 61 5f 31 7d | 5c 5c 0a 78 5e 32 26 3a |alpha_1}|\\.x^2&:|
|000019a0| 26 61 5f 32 3d 2d 7b 5c | 6c 61 6d 62 64 61 7d 2b |&a_2=-{\|lambda}+|
|000019b0| 7b 5c 61 6c 70 68 61 5f | 31 7d 5e 32 2b 32 7b 5c |{\alpha_|1}^2+2{\|
|000019c0| 61 6c 70 68 61 5f 32 7d | 5c 5c 0a 78 5e 31 26 3a |alpha_2}|\\.x^1&:|
|000019d0| 26 61 5f 33 3d 32 28 7b | 5c 61 6c 70 68 61 5f 31 |&a_3=2({|\alpha_1|
|000019e0| 7d 7b 5c 61 6c 70 68 61 | 5f 32 7d 2d 7b 5c 6c 61 |}{\alpha|_2}-{\la|
|000019f0| 6d 62 64 61 7d 7b 5c 62 | 65 74 61 5f 31 7d 29 5c |mbda}{\b|eta_1})\|
|00001a00| 5c 0a 78 5e 30 26 3a 26 | 61 5f 34 3d 7b 5c 61 6c |\.x^0&:&|a_4={\al|
|00001a10| 70 68 61 5f 32 7d 5e 32 | 2d 7b 5c 6c 61 6d 62 64 |pha_2}^2|-{\lambd|
|00001a20| 61 7d 7b 5c 62 65 74 61 | 5f 31 7d 5e 32 0a 5c 65 |a}{\beta|_1}^2.\e|
|00001a30| 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 7d 5c 5d 0a 0a 45 6c 69 |nd{array|}\]..Eli|
|00001a40| 6d 69 6e 61 74 69 6f 6e | 20 6f 66 20 24 7b 5c 61 |mination| of ${\a|
|00001a50| 6c 70 68 61 5f 31 7d 24 | 2c 20 24 7b 5c 61 6c 70 |lpha_1}$|, ${\alp|
|00001a60| 68 61 5f 32 7d 24 2c 20 | 24 7b 5c 62 65 74 61 7d |ha_2}$, |${\beta}|
|00001a70| 24 20 66 72 6f 6d 20 61 | 62 6f 76 65 20 65 71 75 |$ from a|bove equ|
|00001a80| 61 74 69 6f 6e 73 20 77 | 69 6c 6c 20 0a 70 72 6f |ations w|ill .pro|
|00001a90| 64 75 63 65 20 74 68 65 | 20 24 7b 5c 6c 61 6d 62 |duce the| ${\lamb|
|00001aa0| 64 61 7d 24 27 73 20 61 | 6c 67 65 62 72 61 69 63 |da}$'s a|lgebraic|
|00001ab0| 20 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 20 6f 66 20 74 68 65 | equatio|n of the|
|00001ac0| 20 74 68 69 72 64 20 64 | 65 67 72 65 65 2e 0a 0a | third d|egree...|
|00001ad0| 46 6f 72 20 74 68 65 20 | 73 70 65 63 69 61 6c 20 |For the |special |
|00001ae0| 63 61 73 65 20 24 7b 61 | 5f 31 7d 3d 30 5c 3b 28 |case ${a|_1}=0\;(|
|00001af0| 7b 5c 61 6c 70 68 61 5f | 31 7d 3d 30 29 24 20 77 |{\alpha_|1}=0)$ w|
|00001b00| 65 20 77 69 6c 6c 20 67 | 65 74 3a 0a 5c 5b 7b 5c |e will g|et:.\[{\|
|00001b10| 6c 61 6d 62 64 61 7d 5e | 33 2b 32 7b 61 5f 32 7d |lambda}^|3+2{a_2}|
|00001b20| 7b 5c 6c 61 6d 62 64 61 | 7d 5e 32 2b 28 7b 61 5f |{\lambda|}^2+({a_|
|00001b30| 32 7d 5e 32 2d 34 61 5f | 34 29 7b 5c 6c 61 6d 62 |2}^2-4a_|4){\lamb|
|00001b40| 64 61 7d 2d 7b 61 5f 33 | 7d 5e 32 3d 30 5c 2c 2e |da}-{a_3|}^2=0\,.|
|00001b50| 5c 5d 0a 0a 5c 69 74 65 | 6d 0a 53 69 6d 69 6c 61 |\]..\ite|m.Simila|
|00001b60| 6c 79 2c 20 66 6f 72 20 | 74 68 65 20 63 61 73 65 |ly, for |the case|
|00001b70| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 65 71 75 61 74 69 6f 6e | of the |equation|
|00001b80| 20 6f 66 20 64 65 67 72 | 65 65 20 36 3a 0a 5c 5b | of degr|ee 6:.\[|
|00001b90| 78 5e 36 2b 7b 61 5f 32 | 7d 78 5e 34 2b 7b 61 5f |x^6+{a_2|}x^4+{a_|
|00001ba0| 33 7d 78 5e 33 2b 7b 61 | 5f 34 7d 78 5e 32 2b 7b |3}x^3+{a|_4}x^2+{|
|00001bb0| 61 5f 35 7d 78 2b 7b 61 | 5f 36 7d 0a 3d 28 78 5e |a_5}x+{a|_6}.=(x^|
|00001bc0| 33 2b 7b 5c 61 6c 70 68 | 61 5f 32 7d 78 2b 7b 5c |3+{\alph|a_2}x+{\|
|00001bd0| 61 6c 70 68 61 5f 33 7d | 29 5e 32 2d 7b 5c 6c 61 |alpha_3}|)^2-{\la|
|00001be0| 6d 62 64 61 7d 28 78 5e | 32 2b 7b 5c 62 65 74 61 |mbda}(x^|2+{\beta|
|00001bf0| 5f 31 7d 78 2b 7b 5c 62 | 65 74 61 5f 32 7d 29 5e |_1}x+{\b|eta_2})^|
|00001c00| 32 5c 2c 2e 5c 5d 0a 0a | 45 6c 69 6d 69 6e 61 74 |2\,.\]..|Eliminat|
|00001c10| 65 20 24 7b 5c 61 6c 70 | 68 61 7d 24 27 73 20 61 |e ${\alp|ha}$'s a|
|00001c20| 6e 64 20 24 7b 5c 62 65 | 74 61 7d 24 27 73 20 61 |nd ${\be|ta}$'s a|
|00001c30| 6e 64 20 66 69 6e 64 20 | 74 68 65 20 61 6c 67 65 |nd find |the alge|
|00001c40| 62 72 61 69 63 20 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 20 6f |braic eq|uation o|
|00001c50| 66 20 0a 24 5c 6c 61 6d | 62 64 61 24 20 21 0a 0a |f .$\lam|bda$ !..|
|00001c60| 5c 69 74 65 6d 0a 53 69 | 6d 69 6c 61 6c 79 2c 20 |\item.Si|milaly, |
|00001c70| 63 6f 6e 73 69 64 65 72 | 20 74 68 65 20 63 61 73 |consider| the cas|
|00001c80| 65 20 6f 66 20 74 68 65 | 20 65 71 75 61 74 69 6f |e of the| equatio|
|00001c90| 6e 20 6f 66 20 64 65 67 | 72 65 65 20 38 3a 0a 5c |n of deg|ree 8:.\|
|00001ca0| 5b 78 5e 38 2b 7b 61 5f | 32 7d 78 5e 36 2b 5c 63 |[x^8+{a_|2}x^6+\c|
|00001cb0| 64 6f 74 73 2b 7b 61 5f | 38 7d 3d 28 78 5e 34 2b |dots+{a_|8}=(x^4+|
|00001cc0| 7b 5c 61 6c 70 68 61 5f | 32 7d 78 5e 32 2b 5c 63 |{\alpha_|2}x^2+\c|
|00001cd0| 64 6f 74 73 2b 7b 5c 61 | 6c 70 68 61 5f 34 7d 29 |dots+{\a|lpha_4})|
|00001ce0| 5e 32 0a 2d 7b 5c 6c 61 | 6d 62 64 61 7d 28 78 5e |^2.-{\la|mbda}(x^|
|00001cf0| 33 2b 7b 5c 62 65 74 61 | 5f 31 7d 78 5e 32 2b 5c |3+{\beta|_1}x^2+\|
|00001d00| 63 64 6f 74 73 2b 7b 5c | 62 65 74 61 5f 33 7d 29 |cdots+{\|beta_3})|
|00001d10| 5e 32 5c 2c 2e 5c 5d 0a | 0a 5c 69 74 65 6d 0a 48 |^2\,.\].|.\item.H|
|00001d20| 6f 77 20 66 61 72 20 63 | 61 6e 20 77 65 20 67 6f |ow far c|an we go|
|00001d30| 20 6f 6e 20 74 68 69 73 | 20 6b 69 6e 64 20 6f 66 | on this| kind of|
|00001d40| 20 63 6f 6d 70 75 74 61 | 74 69 6f 6e 73 3f 0a 0a | computa|tions?..|
|00001d50| 5c 65 6e 64 7b 65 6e 75 | 6d 65 72 61 74 65 7d 0a |\end{enu|merate}.|
|00001d60| 0a 5c 73 75 62 73 65 63 | 74 69 6f 6e 7b 4e 65 77 |.\subsec|tion{New|
|00001d70| 74 6f 6e 27 73 20 70 72 | 6f 62 6c 65 6d 2e 7d 0a |ton's pr|oblem.}.|
|00001d80| 43 6f 6e 73 69 64 65 72 | 20 61 20 63 75 72 76 65 |Consider| a curve|
|00001d90| 20 0a 5c 5b 79 5e 33 2d | 78 79 5e 7b 5c 66 72 61 | .\[y^3-|xy^{\fra|
|00001da0| 63 7b 31 7d 7b 32 7d 7d | 2b 78 5e 7b 5c 66 72 61 |c{1}{2}}|+x^{\fra|
|00001db0| 63 7b 34 7d 7b 33 7d 7d | 3d 30 5c 2c 2e 5c 5d 0a |c{4}{3}}|=0\,.\].|
|00001dc0| 54 68 65 20 6f 72 69 67 | 69 6e 20 24 28 30 2c 30 |The orig|in $(0,0|
|00001dd0| 29 24 20 69 73 20 6f 6e | 20 74 68 65 20 63 75 72 |)$ is on| the cur|
|00001de0| 76 65 2e 0a 0a 46 69 6e | 64 20 74 68 65 20 50 75 |ve...Fin|d the Pu|
|00001df0| 69 73 65 75 78 20 65 78 | 70 61 6e 73 69 6f 6e 20 |iseux ex|pansion |
|00001e00| 6f 66 20 79 20 74 6f 20 | 61 73 20 68 69 67 68 65 |of y to |as highe|
|00001e10| 72 20 64 65 67 72 65 65 | 20 61 73 20 70 6f 73 73 |r degree| as poss|
|00001e20| 69 62 6c 65 3a 0a 5c 5b | 79 3d 78 5e 7b 5c 66 72 |ible:.\[|y=x^{\fr|
|00001e30| 61 63 7b 32 7d 7b 33 7d | 7d 2b 32 78 5e 7b 5c 66 |ac{2}{3}|}+2x^{\f|
|00001e40| 72 61 63 7b 34 7d 7b 33 | 7d 7d 2b 31 33 78 5e 32 |rac{4}{3|}}+13x^2|
|00001e50| 2b 5c 63 64 6f 74 73 2e | 5c 5d 0a 0a 5c 73 75 62 |+\cdots.|\]..\sub|
|00001e60| 73 65 63 74 69 6f 6e 7b | 46 75 6e 63 74 69 6f 6e |section{|Function|
|00001e70| 61 6c 20 45 71 75 61 74 | 69 6f 6e 2e 7d 0a 5c 62 |al Equat|ion.}.\b|
|00001e80| 65 67 69 6e 7b 65 6e 75 | 6d 65 72 61 74 65 7d 0a |egin{enu|merate}.|
|00001e90| 5c 69 74 65 6d 0a 53 6f | 6c 76 65 20 74 68 65 20 |\item.So|lve the |
|00001ea0| 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e | 67 20 66 75 6e 63 74 69 |followin|g functi|
|00001eb0| 6f 6e 61 6c 20 65 71 75 | 61 74 69 6f 6e 20 62 79 |onal equ|ation by|
|00001ec0| 20 70 6f 77 65 72 20 73 | 65 72 69 65 73 3a 0a 0a | power s|eries:..|
|00001ed0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 65 | 71 6e 61 72 72 61 79 2a |\begin{e|qnarray*|
|00001ee0| 7d 0a 5c 66 72 61 63 7b | 70 5e 32 28 78 5e 32 29 |}.\frac{|p^2(x^2)|
|00001ef0| 2b 71 5e 32 28 78 5e 32 | 29 7d 7b 32 7d 26 3d 26 |+q^2(x^2|)}{2}&=&|
|00001f00| 5c 7b 5c 66 72 61 63 7b | 70 28 78 29 2b 71 28 78 |\{\frac{|p(x)+q(x|
|00001f10| 29 7d 7b 32 7d 5c 7d 5e | 32 20 5c 5c 0a 5c 66 72 |)}{2}\}^|2 \\.\fr|
|00001f20| 61 63 7b 70 5e 32 28 78 | 5e 32 29 2d 71 5e 32 28 |ac{p^2(x|^2)-q^2(|
|00001f30| 78 5e 32 29 7d 7b 32 7d | 26 3d 26 5c 7b 5c 66 72 |x^2)}{2}|&=&\{\fr|
|00001f40| 61 63 7b 70 28 78 29 2d | 71 28 78 29 7d 7b 32 7d |ac{p(x)-|q(x)}{2}|
|00001f50| 5c 7d 5e 32 20 5c 5c 0a | 70 28 30 29 3d 71 28 30 |\}^2 \\.|p(0)=q(0|
|00001f60| 29 3d 31 2c 26 26 7b 5c | 72 6d 20 61 6e 64 5c 2c |)=1,&&{\|rm and\,|
|00001f70| 61 6e 61 6c 79 74 69 63 | 5c 2c 61 74 5c 2c 7d 20 |analytic|\,at\,} |
|00001f80| 30 2e 0a 5c 65 6e 64 7b | 65 71 6e 61 72 72 61 79 |0..\end{|eqnarray|
|00001f90| 2a 7d 0a 0a 41 73 73 75 | 6d 65 20 74 68 65 20 73 |*}..Assu|me the s|
|00001fa0| 65 72 69 65 73 20 65 78 | 70 61 6e 73 69 6f 6e 73 |eries ex|pansions|
|00001fb0| 3a 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 65 71 6e 61 72 72 61 |:.\begin|{eqnarra|
|00001fc0| 79 2a 7d 0a 70 28 78 29 | 3d 31 2b 32 5c 73 75 6d |y*}.p(x)|=1+2\sum|
|00001fd0| 5f 7b 6a 3d 31 7d 5e 7b | 5c 69 6e 66 74 79 7d 20 |_{j=1}^{|\infty} |
|00001fe0| 70 5f 6a 20 78 5e 6a 5c | 2c 2c 5c 5c 0a 71 28 78 |p_j x^j\|,,\\.q(x|
|00001ff0| 29 3d 31 2b 32 5c 73 75 | 6d 5f 7b 6a 3d 31 7d 5e |)=1+2\su|m_{j=1}^|
|00002000| 7b 5c 69 6e 66 74 79 7d | 20 71 5f 6a 20 78 5e 6a |{\infty}| q_j x^j|
|00002010| 5c 2c 2e 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 71 6e 61 72 72 61 |\,..\end|{eqnarra|
|00002020| 79 2a 7d 0a 0a 45 71 75 | 61 74 69 6e 67 20 74 68 |y*}..Equ|ating th|
|00002030| 65 20 63 6f 65 66 66 69 | 63 69 65 6e 74 73 2c 20 |e coeffi|cients, |
|00002040| 77 65 20 63 61 6e 20 67 | 65 74 20 74 68 65 20 73 |we can g|et the s|
|00002050| 69 6d 75 6c 74 61 6e 65 | 6f 75 73 20 65 71 75 61 |imultane|ous equa|
|00002060| 74 69 6f 6e 20 6f 66 0a | 24 70 5f 6a 24 20 61 6e |tion of.|$p_j$ an|
|00002070| 64 20 24 71 5f 6a 24 5c | 2c 2e 0a 0a 54 68 65 20 |d $q_j$\|,...The |
|00002080| 72 69 67 68 74 20 61 6e | 73 77 65 72 20 73 68 6f |right an|swer sho|
|00002090| 75 6c 64 20 62 65 20 69 | 66 20 77 65 20 61 73 73 |uld be i|f we ass|
|000020a0| 75 6d 65 20 24 70 5f 31 | 2d 71 5f 31 20 5c 6e 65 |ume $p_1|-q_1 \ne|
|000020b0| 20 30 24 2c 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 71 6e 61 | 0$,.\be|gin{eqna|
|000020c0| 72 72 61 79 2a 7d 0a 70 | 28 78 29 26 3d 31 2b 32 |rray*}.p|(x)&=1+2|
|000020d0| 5c 73 75 6d 5f 7b 6b 3d | 31 7d 5e 7b 5c 69 6e 66 |\sum_{k=|1}^{\inf|
|000020e0| 74 79 7d 20 20 78 5e 7b | 6b 5e 32 7d 20 3d 26 31 |ty}  x^{|k^2} =&1|
|000020f0| 2b 32 78 2b 32 78 5e 7b | 34 7d 2b 32 78 5e 7b 39 |+2x+2x^{|4}+2x^{9|
|00002100| 7d 2b 32 78 5e 7b 31 36 | 7d 2b 5c 63 64 6f 74 73 |}+2x^{16|}+\cdots|
|00002110| 2c 5c 5c 0a 71 28 78 29 | 26 3d 31 2b 32 5c 73 75 |,\\.q(x)|&=1+2\su|
|00002120| 6d 5f 7b 6b 3d 31 7d 5e | 7b 5c 69 6e 66 74 79 7d |m_{k=1}^|{\infty}|
|00002130| 28 2d 78 29 5e 7b 6b 5e | 32 7d 3d 26 31 2d 32 78 |(-x)^{k^|2}=&1-2x|
|00002140| 2b 32 78 5e 7b 34 7d 2d | 32 78 5e 7b 39 7d 2b 32 |+2x^{4}-|2x^{9}+2|
|00002150| 78 5e 7b 31 36 7d 2d 5c | 63 64 6f 74 73 20 5c 5c |x^{16}-\|cdots \\|
|00002160| 0a 20 20 20 20 26 3d 70 | 28 2d 78 29 2e 0a 5c 65 |.    &=p|(-x)..\e|
|00002170| 6e 64 7b 65 71 6e 61 72 | 72 61 79 2a 7d 0a 0a 5c |nd{eqnar|ray*}..\|
|00002180| 69 74 65 6d 0a 53 69 6d | 69 6c 61 72 79 2c 20 66 |item.Sim|ilary, f|
|00002190| 69 6e 64 20 6f 75 74 20 | 74 68 65 20 66 6f 6c 6c |ind out |the foll|
|000021a0| 6f 77 69 6e 67 20 66 75 | 6e 63 74 69 6f 6e 61 6c |owing fu|nctional|
|000021b0| 20 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 27 73 20 61 6e 61 6c | equatio|n's anal|
|000021c0| 79 74 69 63 20 73 6f 6c | 75 74 69 6f 6e 73 2e 5c |ytic sol|utions.\|
|000021d0| 5c 0a 4e 6f 74 65 3a 20 | 24 7b 5c 6f 6d 65 67 61 |\.Note: |${\omega|
|000021e0| 7d 7b 5c 6e 65 7d 31 2c | 5c 3b 7b 5c 6f 6d 65 67 |}{\ne}1,|\;{\omeg|
|000021f0| 61 7d 5e 33 3d 31 24 2e | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |a}^3=1$.|.\begin{|
|00002200| 65 71 6e 61 72 72 61 79 | 2a 7d 0a 5c 66 72 61 63 |eqnarray|*}.\frac|
|00002210| 7b 70 5e 33 28 78 5e 33 | 29 2b 71 5e 33 28 78 5e |{p^3(x^3|)+q^3(x^|
|00002220| 33 29 2b 72 5e 33 28 78 | 5e 33 29 7d 7b 33 7d 20 |3)+r^3(x|^3)}{3} |
|00002230| 26 3d 26 5c 7b 5c 66 72 | 61 63 7b 70 28 78 29 2b |&=&\{\fr|ac{p(x)+|
|00002240| 71 28 78 29 2b 72 28 78 | 29 7d 7b 33 7d 5c 7d 5e |q(x)+r(x|)}{3}\}^|
|00002250| 33 20 5c 5c 0a 5c 66 72 | 61 63 7b 70 5e 33 28 78 |3 \\.\fr|ac{p^3(x|
|00002260| 5e 33 29 2b 7b 5c 6f 6d | 65 67 61 7d 71 5e 33 28 |^3)+{\om|ega}q^3(|
|00002270| 78 5e 33 29 2b 7b 5c 6f | 6d 65 67 61 5e 32 7d 72 |x^3)+{\o|mega^2}r|
|00002280| 5e 33 28 78 5e 33 29 7d | 7b 33 7d 0a 26 3d 26 5c |^3(x^3)}|{3}.&=&\|
|00002290| 7b 5c 66 72 61 63 7b 70 | 28 78 29 2b 7b 5c 6f 6d |{\frac{p|(x)+{\om|
|000022a0| 65 67 61 7d 71 28 78 29 | 2b 7b 5c 6f 6d 65 67 61 |ega}q(x)|+{\omega|
|000022b0| 5e 32 7d 72 28 78 29 7d | 7b 33 7d 5c 7d 5e 33 20 |^2}r(x)}|{3}\}^3 |
|000022c0| 5c 5c 0a 5c 66 72 61 63 | 7b 70 5e 33 28 78 5e 33 |\\.\frac|{p^3(x^3|
|000022d0| 29 2b 7b 5c 6f 6d 65 67 | 61 5e 32 7d 71 5e 33 28 |)+{\omeg|a^2}q^3(|
|000022e0| 78 5e 33 29 2b 7b 5c 6f | 6d 65 67 61 7d 72 5e 33 |x^3)+{\o|mega}r^3|
|000022f0| 28 78 5e 33 29 7d 7b 33 | 7d 20 0a 26 3d 26 5c 7b |(x^3)}{3|} .&=&\{|
|00002300| 5c 66 72 61 63 7b 70 28 | 78 29 2b 7b 5c 6f 6d 65 |\frac{p(|x)+{\ome|
|00002310| 67 61 5e 32 7d 71 28 78 | 29 2b 7b 5c 6f 6d 65 67 |ga^2}q(x|)+{\omeg|
|00002320| 61 7d 72 28 78 29 7d 7b | 33 7d 5c 7d 5e 33 20 5c |a}r(x)}{|3}\}^3 \|
|00002330| 5c 0a 70 28 30 29 3d 71 | 28 30 29 3d 72 28 30 29 |\.p(0)=q|(0)=r(0)|
|00002340| 3d 31 2c 26 26 20 70 27 | 28 30 29 2c 5c 2c 71 27 |=1,&& p'|(0),\,q'|
|00002350| 28 30 29 2c 5c 2c 72 27 | 28 30 29 5c 2c 7b 5c 72 |(0),\,r'|(0)\,{\r|
|00002360| 6d 20 61 72 65 5c 2c 6e | 6f 74 5c 2c 61 6c 6c 5c |m are\,n|ot\,all\|
|00002370| 2c 7a 65 72 6f 73 5c 2c | 7d 2e 0a 5c 65 6e 64 7b |,zeros\,|}..\end{|
|00002380| 65 71 6e 61 72 72 61 79 | 2a 7d 0a 5c 65 6e 64 7b |eqnarray|*}.\end{|
|00002390| 65 6e 75 6d 65 72 61 74 | 65 7d 0a 5c 65 6e 64 7b |enumerat|e}.\end{|
|000023a0| 64 6f 63 75 6d 65 6e 74 | 7d 0a 25 2d 2d 2d 2d 2d |document|}.%-----|
|000023b0| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|000023c0| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|000023d0| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|000023e0| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|000023f0| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 0a 25 0a 25 20 20 |--------|--.%.%  |
|00002400| 20 20 54 68 65 20 65 6e | 64 2e 0a 25 0a 25 2d 2d |  The en|d..%.%--|
|00002410| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|00002420| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|00002430| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|00002440| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d |--------|--------|
|00002450| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 0a 0a    |--------|-----.. |
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+