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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / symbolic / 2057 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-23  |  3.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!caen!zaphod.mps.ohio-state.edu!not-for-mail
  2. From: edgar@function.mps.ohio-state.edu (Gerald Edgar)
  3. Newsgroups: sci.math.symbolic
  4. Subject: Re: New class of functions found, impact of CAS on math
  5. Date: 23 Jul 1992 12:32:35 -0400
  6. Organization: The Ohio State University, Dept. of Math.
  7. Lines: 75
  8. Distribution: usa
  9. Message-ID: <14mmv3INN4gq@function.mps.ohio-state.edu>
  10. References: <2350@nic.cerf.net> <1992Jul23.152053.17774@news.eng.convex.com>
  11. NNTP-Posting-Host: function.mps.ohio-state.edu
  12.  
  13. >In article <2350@nic.cerf.net> jcbhrb@nic.cerf.net (Jacob Hirbawi) writes:
  14.  
  15. >>Very interesting article! I'm not sure I beleive his claim: "I've shown that
  16. >>problems of divergence can be banished from math applications"; but the
  17. >>example about the "companion" function to exp(x) is worth a closer look.
  18. >>You have to admit that you don't expect this function to converge quickly
  19. >>(if at all):
  20. >>
  21. >>      B(x) = 1 + x + 2!x^2 + 3!x^3 + 4!x^4 + ... + n!x^n + ...
  22. >>  
  23.  
  24. In article <1992Jul23.152053.17774@news.eng.convex.com> jchrist@convex.com (Jeff Christenson) writes:
  25. >Well, I'm only interested in this because it showed up in EE Times, and 
  26. >I'm only in sci.math.symbolic because that's where someone mentioned the 
  27. >problem; but could someone tell me what I'm missing about this.
  28. >
  29. >The equation is accompanied by a graph that I assume is showing B(x) for
  30. >various values of x.  On the right side of the vertical axis (positive values
  31. >of x, right?), the line rises until about where x=1, then dips towards about 
  32. >-0.8 around x=90; then sorta heads back towards 0, but does not cross it.
  33. >(nice technical description, huh?).  
  34. >
  35. >What I don't understand is why B(x) is ever negative when x is positive.
  36. >All of the terms are added, and n! seems like it would always be positive 
  37. >for n>0, and x^n seems like it would always be positive for x>0 and n>0.
  38. >
  39. >Do n! and x^n do wierd things as n approaches infinity?  Or is that the whole
  40. >reason for the symbolic algebra and terminal summation?
  41. >
  42.  
  43. The series diverges for all nonzero x.  So the sense in which the
  44. series represents the function is only in terms of "summation methods"
  45. for divergent series.  This function, used by Euler, can be
  46. written as
  47.  
  48.   exp(-1/x)*Ei(1/x)/x,
  49.  
  50. where Ei is the exponential integral.  It has a removable discontinuity
  51. at zero, and its Taylor series is, indeed, the one given above.
  52.  
  53. An ASCII version of the graph looks like this: [drawn by Maple]
  54. Near x=0 it does turn around and arrive at y=1.
  55.  
  56. |  A
  57. |  A
  58. + 0.4
  59. |   A
  60. |   A
  61. |   A
  62. |   AA
  63. + 0.2A
  64. |    A
  65. |     A
  66. |     A                                                                       x
  67. +-0----*-----+------------+------------+------------+------------+------------+
  68. 0       AA   5           10           15           20           25           30
  69. |        AAA                                        AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
  70. |          AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
  71. + -0.2
  72. |
  73. |
  74. |
  75. |
  76. + -0.4
  77. |
  78. |
  79.  
  80. The minumum seems to be at about x=8.
  81.  
  82.  
  83. -- 
  84.   Gerald A. Edgar                Internet:  edgar@mps.ohio-state.edu
  85.   Department of Mathematics      Bitnet:    EDGAR@OHSTPY
  86.   The Ohio State University      telephone: 614-292-0395 (Office)
  87.   Columbus, OH 43210             -292-4975 (Math. Dept.) -292-1479 (Dept. Fax)
  88.