home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9691 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-30  |  1.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!wupost!waikato.ac.nz!comp.vuw.ac.nz!cc-server4.massey.ac.nz!TMoore@massey.ac.nz
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: HELP. TEST FOR EXTREMA IN f(x,y,z)
  4. Message-ID: <1992Jul30.221230.21146@massey.ac.nz>
  5. From: news@massey.ac.nz (USENET News System)
  6. Date: Thu, 30 Jul 92 22:12:30 GMT
  7. References: <1992Jul29.010542.8650@eng.ufl.edu>,<a_rubin.712451081@dn66> <1992Jul30.144053.28402@news.cs.brandeis.edu>
  8. Organization: Massey University
  9. Lines: 27
  10.  
  11. In article <1992Jul30.144053.28402@news.cs.brandeis.edu>, palais@binah.cc.brandeis.edu writes:
  12. > 
  13. > Armando Barre asked                                                     
  14. > 
  15. > >My question is :
  16. > 
  17. > >IS THERE SUCH A TEST FOR EXTREMA IN A FUNCTION OF 3 VARIABLES :f(x,y,z) ?
  18. > 
  19. > Actually there is; someone else will have to provide a reference, but:
  20. > 
  21. > (i) f(a,b) is a local maximum if the Hessian is negative definite
  22. > (ii) f(a,b) is a local minimum if the Hessian is positive definite
  23. > (iii) f(a,b) is a local minimum if the Hessian is indefinite.
  24. > 
  25. > Arthur Rubin answered: 
  26. > 
  27. >    I think Arthur meant to say saddle point for case (iii) (but one must
  28. > assume that the Hessian matrix is non-singular). The same result is true 
  29. > in any dimension (and even in Hilbert space). The best reference is to any 
  30. > proof of the "Morse-Lemma", which says that after a change of variables the 
  31. > function locally is equal to a constant (its value at the critical point) 
  32. > plus the quadratic function given bythe Hessian. (See Lang's "Differentiable 
  33. > Manifolds" for the Hilbert space proof.)
  34. > 
  35. Of course there is a fourth case. When the Hessian is zero the stationary
  36. point might be any of those types. This  also applies in case (iii) if the
  37. Hessian does not have full rank.
  38.