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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9687 < prev    next >
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Text File  |  1992-07-30  |  1.7 KB  |  40 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!gatech!rpi!batcomputer!munnari.oz.au!manuel!gerry@macadam.mpce.mq.edu.au
  3. From: gerry@macadam.mpce.mq.edu.au (Gerry Myerson)
  4. Subject: Re: Integer Sequence Problem
  5. Message-ID: <1992Jul30.030719.28573@newshost.anu.edu.au>
  6. Sender: news@newshost.anu.edu.au
  7. Organization: ceNTRe for Number Theory Research
  8. References:  <1992Jul28.173452.24364@news.tu-graz.ac.at> <1992Jul28.225605.18476@pasteur.Berkeley.EDU>
  9. Date: Thu, 30 Jul 92 03:07:19 GMT
  10. Lines: 28
  11.  
  12. In article <1992Jul28.225605.18476@pasteur.Berkeley.EDU>, luzeaux@bellini.berkeley.edu (Dominique Luzeaux) writes:
  13. > 
  14. > In article <1992Jul28.173452.24364@news.tu-graz.ac.at>,
  15. > hhassler@iaik.tu-graz.ac.at (Hannes Hassler) writes:
  16. > |> For S an infinite, increasing sequence of positive integers (1=a_1 < a_2 <
  17. > |> a_3 < ... < a_i < a_{i+1} < ...), we define the VALUE val(S) of S 
  18. > |> 
  19. > |>         val(S)  :=    sup_{n>1}  \sum_{i=1}^n a_i   / a_{n-1}
  20.  
  21. > |> PROBLEM: Find the minimum (infimum) of val(S) over all possible sequences S.
  22.  
  23. [analysis deleted]
  24.  
  25. > Furthermore, we can say that val(S) takes as only finite values q^2/(q-1) 
  26. > where q is an integer >=2, hence 4 is the minimum of val(S) over all
  27. > sequences S.
  28.  
  29. I won't argue with the analysis (which I've deleted), nor with min val(S)=4, 
  30. but it's not true that val(S) can only be q^2/(q-1) with q an integer not 
  31. less than 2. The Fibonacci sequence has val(S)=q^2/(q-1) with q the golden 
  32. ratio ((1+sqrt5)/2). More generally, given real q>1, and any geometric 
  33. series G with common ratio q, if S is a sequence of integers close enough to 
  34. G (like, s_n=integer part of g_n), then val(S)=q^2/(q-1). Of course, the 
  35. minimum value of q^2/(q-1) is 4, attained at q=2. 
  36.  
  37. >     Dominique Luzeaux
  38.  
  39. Gerry Myerson
  40.