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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9671 < prev    next >
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Text File  |  1992-07-30  |  2.9 KB  |  63 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  3. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  4. Subject: Re: Fibre Bundle Theory
  5. Message-ID: <1992Jul27.211901.10752@galois.mit.edu>
  6. Sender: news@galois.mit.edu
  7. Nntp-Posting-Host: riesz
  8. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  9. References: <s#T-+B+@engin.umich.edu>
  10. Date: Mon, 27 Jul 92 21:19:01 GMT
  11. Lines: 50
  12.  
  13. In article <s#T-+B+@engin.umich.edu> pradeep@engin.umich.edu (Pradeep Jain) writes:
  14. >Hi,
  15. > 
  16. >I understand that Fibre Bundle Theory is about formulating geometric 
  17. >problems as Fibre Bundle Theoretic problems (and then as algebraic 
  18. >problems?). 
  19.  
  20. Well, the algebra would only come in if one combined fiber bundles with
  21. some other techniques like algebraic topology or Lie theory, as is often done.
  22.  
  23. Can someone please give me some introductory refrences to
  24. >Fibre Bundle Theory? I would greatly appreciate the help.
  25.  
  26. Since it seems you may be an engineer I would recommend Analysis
  27. Manifolds and Physics by Choquet-Bruhat et al, since this gives
  28. applications to physics, and skips the hard proofs --- which is good for
  29. anyone wanting a first introduction to a subject, not just engineers!
  30. (I'm in favor of knowing what something will do for you before sweating
  31. over it too much.)
  32.  
  33. I imagine that most good books on differential geometry talk about fiber
  34. bundles.  For example Kobayashi and Nomizu.  
  35.  
  36. Rather painful for anyone but hardcore mathematicians, but packed with
  37. useful information, is Dale Husemoller's book Fibre Bundles.  You may
  38. have heard of the hairy ball theorem on the impossibility of combing a
  39. coconut in such a way that its hair lies flat everywhere without a
  40. "part".  In other words, there is no nowhere-vanishing tangent vector
  41. field on the 2-sphere.  A classic problem is to find how many everywhere
  42. linearly independent vector fields on an n-sphere (for example, there is
  43. 1 on a 1-sphere, 3 on a 3-sphere, 7 on a 7-sphere, but these are the
  44. only cases where there are n on an n-sphere).  Husemoller shows how this
  45. problem is related to fiber bundles and how it is solved using
  46. K-theory (a type of algebraic topology).  This particular proof is quite
  47. sophisticated....
  48.  
  49. >Also, what 
  50. >are the pre-requisites for gaining an understanding of Fibre Bundle
  51. >Theory?
  52.  
  53. Fiber bundles are one of the things one studies in topology or
  54. differential geometry; since you mention geometry you are probably more
  55. interested in the latter approach.  In that case one needs to know
  56. what a manifold is before messing with fiber bundles.  And you need to
  57. be familiar with the basic examples of fiber bundles (tangent and
  58. cotangent bundles) before the general concept seems like something
  59. that's obviously interesting.  To really get serious about fiber bundles
  60. (namely, to play around with connections on fiber bundles) one also
  61. needs to learn a bit about Lie groups.  The Choquet-Bruhat and the
  62. Kobayashi/Nomizu refs will have more than enough on these to get going.
  63.